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| Aufgabe | Untersuchen Sie die Folgen [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] und [mm] (b_n)_{n\in\IN} [/mm] auf Konvergenz, wobei [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{2n^2 + 3}{4n^2 + 5n} [/mm] und [mm] b_n [/mm] =
[mm] \bruch{n^3}{n! + n^2}. [/mm] Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. |
Hallo.
Ich habe große Probleme mit dieser Aufgabe, da ich gar nicht weiß wie ich dort anfangen sollen. Mit der Hilfe von Derive habe ich mir die Lösungen bereits angeschaut. Für [mm] a_n [/mm] ergibt sich ein Grenzwert von 1/2 und für [mm] b_n [/mm] ergibt sich einer von 0.
Allerdings habe ich keine Ahnung wie man das berechnen kann bzw. muss. Wie kann ich denn die Kovergenz und danach dann den Grenzwert bestimmen?
Würde mich über Tipps freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Di 18.12.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
bei der ersten Aufgabe kannst du am besten mal alles durch [mm] n^2 [/mm] teilen. Dann solltest du sehen, was passiert, wenn du n gegen unendlich gehen lässt. Wenn ein Grenzwert existiert (den du so ausrechnen kannst), dann ist die Folge auch konvergent.
Ansonsten müsstest du mit den Konvergenzkriterien von Folgen rangehen...oder abschätzen oder sowas.
Bei der zweiten Aufgabe kannst du mal durch n! teilen, und dann kannst du dir zu nutzen machen, falls du das in der Vorlesung schon hattest, dass n! schneller gegen unendlich geht als [mm] n^p [/mm] mit [mm] p\in\IN
[/mm]
Ansonsten musst du dann ncoh nachweisen, dass [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}n^p/n! [/mm] =0$ gilt. Wenn du das hast, kannst du das auf deinen Bruch anweden, und dann zeigen, dass der Grenzwert 0 ist.
LG
Kroni
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Hallo.
Habe jetzt mal den ersten Bruch durch [mm] n^2 [/mm] geteilt. Dann erhalte ich den folgenden Bruch [mm] \bruch{2n^2 + 3}{n^3 * (4n + 5)}.
[/mm]
Kann ich jetzt sagen, dass [mm] n^3 [/mm] > [mm] 2n^2 [/mm] und somit stets der Nenner > Zähler gilt und damit der Bruch konvergiert?
Aber wie komme ich dann auf 1/2?
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Hallo.
Wie kommst du darauf, dass ich geschummelt habe?!?
Okay. Dann eben so:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{2n^2+3}{4n^2+5}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{n^2\cdot{}\left(2+\frac{3}{n^2}\right)}{n^2\cdot{}\left(4+\frac{5}{n^2}\right)}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{2+\frac{3}{n^2}}{4+\frac{5}{n^2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{4}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Nun ist die Frage aber, ob ich nicht zuerst irgendwie sagen muss, dass die Folge konvergiert, bevor ich auf dieser Weise den Grenzwert bestimmen kann, oder?
Oder ist das gleichzeitig auch der Beweis für die Konvergenz der Folge?
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Hallo mathefrischling!
> Wie kommst du darauf, dass ich geschummelt habe?!?
Das war doch nur ein Scherz, da Du plötzlich zusätzliche Terme in Deinem umgeformten Bruch hattest.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{2n^2+3}{4n^2+5}[/mm] [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{n^2\cdot{}\left(2+\frac{3}{n^2}\right)}{n^2\cdot{}\left(4+\frac{5}{n^2}\right)}[/mm] [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{2+\frac{3}{n^2}}{4+\frac{5}{n^2}}[/mm] = [mm]\bruch{2}{4}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Sehr gut!
> Nun ist die Frage aber, ob ich nicht zuerst irgendwie sagen
> muss, dass die Folge konvergiert, bevor ich auf dieser
> Weise den Grenzwert bestimmen kann, oder?
> Oder ist das gleichzeitig auch der Beweis für die
> Konvergenz der Folge?
Da Du hier lediglich mit bekannten Grenzwert (wie z.B. [mm] $\bruch{a}{n^2}$ [/mm] ) gerechnet hast in Verbindung mit den  Grenzwertsätzen, ist alles okay und gezeigt.
Gruß vom
Roadrunner
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(b)
Hier gilt nun
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^3}{n! + n^2}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n! \cdot{} \bruch{n^3}{n!}}{n! \cdot{} (1 + \bruch{n^2}{n!})}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{n^3}{n!}}{1 + \bruch{n^2}{n!}}
[/mm]
= [mm] \bruch{0}{1}
[/mm]
= 0
Ich bin mir aber immer noch nicht sicher, ob das für die ganze Aufgabe so ausreicht. Mir ist nämlich nicht klar, ob ich nicht erstmal was zur Konvergenz sagen muss bevor ich einfach den Grenzwert nach diesem Schema bestimmen kann...
Vielleicht kann mir dazu nochmal jemand was sagen.
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Hallo mathefrischling!
Wie oben bereits angedeutet, musst Du noch zeigen, dass [mm] $\bruch{n^2}{n!}$ [/mm] bzw. [mm] $\bruch{n^3}{n!}$ [/mm] auch wirklich Nullfolgen sind.
[mm] $$\bruch{n^3}{n!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n*n*n}{1*2*3*...*(n-2)*(n-1)*n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1*2*3*...*(n-3)}*\bruch{n}{n-2}*\bruch{n}{n-1}*\bruch{n}{n} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo.
Das ist ja mal interessant, ich habe das einfach voraussgesetzt, da ja ab n >= 4 gilt n! > [mm] n^2 [/mm] und somit wächst der Nenner ja schneller als der Zähler und daher dachte ich, dass es sich dann um eine Nullfolge handeln muss.
Wenn man das jetzt so betrachtet dann gilt ja:
[mm] \lim_{n\to\infty} \bruch{n^3}{n!}
[/mm]
= [mm] \lim_{n\to\infty} \bruch{n \cdot{} n \cdot{} n} [/mm] {1 [mm] \cdot{} [/mm] 2 [mm] \cdot{} [/mm] 3 [mm] \cdot{} [/mm] ... [mm] \cdot{} [/mm] (n-2) [mm] \cdot{} [/mm] (n-1) [mm] \cdot{} [/mm] n}
= [mm] \lim_{n\to\infty} \bruch{1} [/mm] {1 [mm] \cdot{} [/mm] 2 [mm] \cdot{} [/mm] 3 [mm] \cdot{} [/mm] ... [mm] \cdot{} [/mm] (n-3)} [mm] \cdot{} \bruch{n}{n-2} \cdot{} \bruch{n}{n-1} \cdot{} \bruch{n}{n}
[/mm]
= 0 [mm] \cdot{} [/mm] 1 [mm] \cdot{} [/mm] 1 [mm] \cdot{} [/mm] 1
= 0
Analog gilt dies für [mm] \bruch{n^2}{n!}
[/mm]
oder?
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Hallo mathefrischling!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß vom
Roadrunner
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
