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| Aufgabe | Bestimmen SIe die folgenden Grenzwerte:
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{5n^2 + 1}{n - 3n^2}
[/mm]
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n + 2)^3 - (n - 1)^3}{95n^3 + 39n}
[/mm]
c) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{n^2 + 2n} + n}{n + 2}
[/mm]
d) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel[3]{n^2 + 3n}}{n + 4}
[/mm]
e) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel{n^2 + 2} [/mm] - n)
f) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{3n})^n [/mm] |
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{5n^2 + 1}{n - 3n^2} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{5 + \bruch{1}{n^2}}{\bruch{1}{n} - 3} [/mm] = [mm] \bruch{5 + 0}{0 - 3} [/mm] = [mm] -\bruch{5}{3}
[/mm]
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n + 2)^3 - (n - 1)^3}{95n^3 + 39n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{12n^2 + 16}{95n^3 + 39n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{12}{n} + \bruch{16}{n^3}}{95 + \bruch{39}{n^2}}
[/mm]
c) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{n^2 + 2n} + n}{n + 2}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{n^2 + 2}}{n + 2} [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{n + 2} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{\bruch{n^2 + 2n}{(n +2)^2}} [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{n + 2} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{\bruch{n^2 + 2n}{n^2 + 4n + 4}} [/mm] + 1 = 1 + 1 = 2
d) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel[3]{n^2 + 3n}}{n + 4} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[3]{\bruch{n^2 + 3n}{(n + 4)^3}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[3]{\bruch{n^2 + 3n}{n^3 + 12n^2 + 42n + 64}} [/mm] = 0
e) + f) Bei denen weiß ich nicht wie ich da anfangen soll. f) sieht noch wie die Folge ähnlich aus, die gegen e geht, aber ansonsten hab ich grad keine Ideen. Könnt ihr mir da Denkanstöße geben ?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Mi 18.08.2010 | | Autor: | abakus |
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> Zu f: deine Beobachtung ist richtig. Tipp:
>
> [mm]\left(\limes_{n\rightarrow\infty} (1 + \bruch{1}{3n})^n\right)^3 = \limes_{n\rightarrow\infty} (1 + \bruch{1}{3n})^{3n}[/mm]
Hallo Rainer,
das hätte ich zwar intuitiv genau so gemacht, aber was ist dafür der theoretische Hintergrund?
Es gibt zwar Sätze wie " [mm] c*\limes_{n\rightarrow\infty} (a_n)=\limes_{n\rightarrow\infty} (c*a_n) [/mm] ", aber welcher Satz erlaubt, aus der Potenz eines Limes den Limes einer Potenz zu machen?
Gruß Abakus
>
> Viele Grüße
> Rainer
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Huhu abakus,
Für stetige Funktionen kann man den Limes rein- und rausziehen, sofern die Grenzwerte existieren.
Die Potenzfunktion ist offensichtlich stetig (sofern der GW an der Stelle existiert).
MFG
Gono.
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e) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel{n^2 + 2} [/mm] - n) = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel{n^2 + 2} [/mm] - n * [mm] \bruch{\wurzel{n^2 + 2} + n}{\wurzel{n^2 + 2} + n}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2 + 2 - n^2}{\wurzel{n^2 + 2} + n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2}{\wurzel{n^2 + 2} + n} [/mm] = 0
f) Ich steh da irgendwie auf dem Schlauch. Selbst dein Tipp hat mir leider nicht geholfen :(
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Hallo john_rambo!
> e) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel{n^2 + 2}[/mm] - n) = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel{n^2 + 2}[/mm] - n * [mm]\bruch{\wurzel{n^2 + 2} + n}{\wurzel{n^2 + 2} + n})[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2 + 2 - n^2}{\wurzel{n^2 + 2} + n}[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2}{\wurzel{n^2 + 2} + n}[/mm] = 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo!
Als Tipp wurde Dir genannt:
$$ [mm] \left(\limes_{n\rightarrow\infty} \left(1 + \bruch{1}{3n}\right)^n\right)^3 [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left(1 + \bruch{1}{3n}\right)^{3n} [/mm] $$
Nun ersetze mal $k \ := \ 3*n$ . Damit solltest Du einen bekannten Grenzwert erhalten.
Gruß vom
Roadrunner
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[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{3n})^n [/mm] = [mm] (\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{3n})^n)^3 [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{3n})^3n [/mm]
Wir setzen k = 3n.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{k})^k [/mm] = e
Ist das so richtig?
Kann man das denn so einfach hinschreiben?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:48 Do 19.08.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (1 + [mm]\bruch{1}{3n})^n[/mm] =
> [mm](\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (1 + [mm]\bruch{1}{3n})^n)^3[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (1 + [mm]\bruch{1}{3n})^3n[/mm]
>
> Wir setzen k = 3n.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (1 + [mm]\bruch{1}{k})^k[/mm] = e
>
> Ist das so richtig?
Das sieht gut aus.
>
> Kann man das denn so einfach hinschreiben?
Ein wenig Begründung beim Umformen wäre nicht schlecht.
Im Allgemeinen darf man nämlich den Limes nicht einfach so "aus den Klammern herausholen"
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:54 Do 19.08.2010 | | Autor: | physicus |
Das Resultat von:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{3n})^n [/mm] ist nicht $\ e$. Sondern $\ [mm] e^{\bruch{1}{3}}$. [/mm] Du hast den Limes ja potenziert. Also musst du im Anschluss wieder entsprechende Wurzel ziehen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 Mi 18.08.2010 | | Autor: | Torsten28 |
Hallo,
in Aufgabe b) ist der Zähler nicht richtig ausmultipliziert.
es müssten [mm] 9n^2 [/mm] + 9n + 9 sein.
Am Grenzwert von der Aufgabe ändert sich dadurch nichts, bleibt also 0.
Gruß Torsten
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