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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgenen (eigentlichen oder uneigentlichen) Grenzwerte existieren, und berechnen Sie diese!
a) [2 Punkte] [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2x^3+3x^2}{7x^3-5x-1}
[/mm]
b) [2 Punkte] [mm] \limes_{x \downarrow 0} \bruch{x^2+1}{x}
[/mm]
c) [2 Punkte] [mm] \limes_{x \rightarrow 0} \bruch{sin x}{x} [/mm] |
Wie kann man denn genau zeigen, dass diese Grenzwerte existieren, ohne sie exakt zu bestimmen? Gibt es denn (wie bei Reihen) auch irgendwelche Konvergenzkriterien? Oder reicht es, den Grenzwert einfach auszurechnen? Das habe ich folgendermaßen gemacht:
zu a)
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2x^3+3x^2}{7x^3-5x-1}=\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^3(2+\bruch{3}{x})}{x^3(7-\bruch{5}{x^2}-\bruch{1}{x^3})}=\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2+\bruch{3}{x}}{7-\bruch{5}{x^2}-\bruch{1}{x^3}}=\bruch{\limes_{x\rightarrow\infty}(2)+\limes_{x\rightarrow\infty}(\bruch{3}{x})}{\limes_{x\rightarrow\infty}(7)-\limes_{x\rightarrow\infty}(\bruch{5}{x^2})-\limes_{x\rightarrow\infty}(\bruch{1}{x^3})}=\bruch{2+0}{7-0-0}=\bruch{2}{7}
[/mm]
zu b)
[mm] \limes_{x \downarrow 0} \bruch{x^2}{x}=\limes_{x \downarrow 0} \bruch{x^2(1+\bruch{1}{x^2})}{x^2(\bruch{1}{x})}=\limes_{x \downarrow 0} \bruch{1+\bruch{1}{x^2}}{\bruch{1}{x}}=\bruch{\limes_{x \downarrow 0}(1)+\limes_{x \downarrow 0}(\bruch{1}{x^2})}{\limes_{x \downarrow 0}(\bruch{1}{x})}=\bruch{1+0}{0}=\infty [/mm] (hier insbesondere die Frage: kann ich wirklich [mm] \bruch{...}{0} [/mm] schreiben?
zu c) (das sollten wir mit der Reihe machen)
[mm] \limes_{x \rightarrow 0} \bruch{sin x}{x}=\bruch{\limes_{x \rightarrow 0} sinx}{\limes_{x \rightarrow 0}x}=\bruch{\limes_{x \rightarrow 0}(\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!})}{0}=\bruch{\limes_{x \rightarrow 0}(\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\bruch{0}{(2n+1)!})}{0}=\bruch{\limes_{x \rightarrow 0}(\summe_{n=0}^{\infty}0)}{0}=\bruch{0}{0}=1
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:38 Do 23.01.2014 | | Autor: | Schuricht |
zu c)
natürlich ist es in den letzten Termen ohne lim gemeint. sry
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Hallo,
vorneweg: für uns ist es eher nicht so wichtig, wie viele Punkte eine korrekt gelöste Aufgabe gibt. Wir beschäftigen uns ja eher mit dem Weg, wie man da hinkommt.- Also frei nach Goethe: 'Das Was bedenke, mehr das Wie'. 
> Zeigen Sie, dass die folgenen (eigentlichen oder
> uneigentlichen) Grenzwerte existieren, und berechnen Sie
> diese!
>
> a) [2 Punkte] [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2x^3+3x^2}{7x^3-5x-1}[/mm]
>
> b) [2 Punkte] [mm]\limes_{x \downarrow 0} \bruch{x^2+1}{x}[/mm]
> c)
> [2 Punkte] [mm]\limes_{x \rightarrow 0} \bruch{sin x}{x}[/mm]
> Wie
> kann man denn genau zeigen, dass diese Grenzwerte
> existieren, ohne sie exakt zu bestimmen? Gibt es denn (wie
> bei Reihen) auch irgendwelche Konvergenzkriterien? Oder
> reicht es, den Grenzwert einfach auszurechnen? Das habe ich
> folgendermaßen gemacht:
>
> zu a)
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2x^3+3x^2}{7x^3-5x-1}=\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^3(2+\bruch{3}{x})}{x^3(7-\bruch{5}{x^2}-\bruch{1}{x^3})}=\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2+\bruch{3}{x}}{7-\bruch{5}{x^2}-\bruch{1}{x^3}}=\bruch{\limes_{x\rightarrow\infty}(2)+\limes_{x\rightarrow\infty}(\bruch{3}{x})}{\limes_{x\rightarrow\infty}(7)-\limes_{x\rightarrow\infty}(\bruch{5}{x^2})-\limes_{x\rightarrow\infty}(\bruch{1}{x^3})}=\bruch{2+0}{7-0-0}=\bruch{2}{7}[/mm]
>
Richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zu b)
> [mm]\limes_{x \downarrow 0} \bruch{x^2}{x}=\limes_{x \downarrow 0} \bruch{x^2(1+\bruch{1}{x^2})}{x^2(\bruch{1}{x})}=\limes_{x \downarrow 0} \bruch{1+\bruch{1}{x^2}}{\bruch{1}{x}}=\bruch{\limes_{x \downarrow 0}(1)+\limes_{x \downarrow 0}(\bruch{1}{x^2})}{\limes_{x \downarrow 0}(\bruch{1}{x})}=\bruch{1+0}{0}=\infty[/mm]
> (hier insbesondere die Frage: kann ich wirklich
> [mm]\bruch{...}{0}[/mm] schreiben?
>
Da sind dir am Anfang die '+1' verloren gegangen. Und dann ist dir vor allem ein Denkfehler passiert: das Ausklammern von [mm] x^2 [/mm] im Nenner ist nicht erlaubt! Versuche es nochmals nur mit dem Ausklammern von x im Zähler und Nenner, dann erldeigt sich das Problem von selbst, da der Grenzwert hier existiert.
> zu c) (das sollten wir mit der Reihe machen)
> [mm]\limes_{x \rightarrow 0} \bruch{sin x}{x}=\bruch{\limes_{x \rightarrow 0} sinx}{\limes_{x \rightarrow 0}x}=\bruch{\limes_{x \rightarrow 0}(\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!})}{0}=\bruch{\limes_{x \rightarrow 0}(\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\bruch{0}{(2n+1)!})}{0}=\bruch{\limes_{x \rightarrow 0}(\summe_{n=0}^{\infty}0)}{0}=\bruch{0}{0}=1[/mm]
Zwar stimmt hier der Grenzwert, aber das darfts du so nicht aufschreiben! Dividiere mal jedes Gleid der Potenzreihe vom Sinus durch x, dann steht der Grenzwert doch im Prinzip schon da.
Auf deine andere Frage: so einfach wie bei Folgen ist es bei Funktionen sicherlich nicht. Man kennt halt so elementare Typen von Funktionstermen und insbesondere deren Verhalten für [mm] |x|->\infty [/mm] bzw. gegen Null.
Gruß, Diophant
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okay, danke:
zu b)
[mm] \limes_{x \downarrow 0} \bruch{x^2+1}{x}=\limes_{x \downarrow 0} \bruch{x(x+\bruch{1}{x})}{x}=\limes_{x \downarrow 0}(x+\bruch{1}{x})=\limes_{x \downarrow 0}(x)+\limes_{x \downarrow 0}(\bruch{1}{x})=\infty [/mm] (nur verstehe ich nicht, warum genau man hier zwei Punkte bekommt, muss ich noch etwas machen?)
zu c)
[mm] \bruch{\summe_{n=0}^{\infty}((-1)^{n}\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!})}{x}=1-\bruch{\bruch{x^3}{3!}}{x}+\bruch{\bruch{x^5}{5!}}{x}\pm [/mm] ... [mm] =1-\bruch{x^2}{3!}+\bruch{x^4}{5!}\pm [/mm] ... [mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow 0}\bruch{\summe_{n=0}^{\infty}((-1)^{n}\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!})}{x}=\limes_{n\rightarrow 0}1-\limes_{n\rightarrow 0}\bruch{x^2}{3!}+\limes_{n\rightarrow 0}\bruch{x^4}{5!}\pm ...=1-0+0\pm...=1
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:14 Do 23.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> okay, danke:
>
> zu b)
> [mm]\limes_{x \downarrow 0} \bruch{x^2+1}{x}=\limes_{x \downarrow 0} \bruch{x(x+\bruch{1}{x})}{x}=\limes_{x \downarrow 0}(x+\bruch{1}{x})=\limes_{x \downarrow 0}(x)+\limes_{x \downarrow 0}(\bruch{1}{x})=\infty[/mm]
> (nur verstehe ich nicht, warum genau man hier zwei Punkte
> bekommt, muss ich noch etwas machen?)
Könntest dir zum Spaß noch folgenden Grenzwert überlegen:
[mm] \limes_{x\to0^{-}}\frac{x^2+1}{x}
[/mm]
> zu c)
>
> [mm]\bruch{\summe_{n=0}^{\infty}((-1)^{n}\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!})}{x}=1-\bruch{\bruch{x^3}{3!}}{x}+\bruch{\bruch{x^5}{5!}}{x}\pm[/mm]
> ... [mm]=1-\bruch{x^2}{3!}+\bruch{x^4}{5!}\pm[/mm] ... [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow 0}\bruch{\summe_{n=0}^{\infty}((-1)^{n}\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!})}{x}=\limes_{n\rightarrow 0}1-\limes_{n\rightarrow 0}\bruch{x^2}{3!}+\limes_{n\rightarrow 0}\bruch{x^4}{5!}\pm ...=1-0+0\pm...=1[/mm]
Der betrachtest natürlich den Grenzwert [mm] $x\to0$ [/mm] und nicht [mm] $n\to0$.
[/mm]
Ersetze überall [mm] \pm [/mm] durch [mm] \mp!
[/mm]
Ansonsten ist alles in Ordnung.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:16 Do 23.01.2014 | | Autor: | Schuricht |
sehr gut :-D
vielen Dank.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Fr 07.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> okay, danke:
>
> zu b)
> [mm]\limes_{x \downarrow 0} \bruch{x^2+1}{x}=\limes_{x \downarrow 0} \bruch{x(x+\bruch{1}{x})}{x}=\limes_{x \downarrow 0}(x+\bruch{1}{x})=\limes_{x \downarrow 0}(x)+\limes_{x \downarrow 0}(\bruch{1}{x})=\infty[/mm]
> (nur verstehe ich nicht, warum genau man hier zwei Punkte
> bekommt, muss ich noch etwas machen?)
>
> zu c)
>
> [mm]\bruch{\summe_{n=0}^{\infty}((-1)^{n}\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!})}{x}=1-\bruch{\bruch{x^3}{3!}}{x}+\bruch{\bruch{x^5}{5!}}{x}\pm[/mm]
> ... [mm]=1-\bruch{x^2}{3!}+\bruch{x^4}{5!}\pm[/mm] ... [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow 0}\bruch{\summe_{n=0}^{\infty}((-1)^{n}\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!})}{x}=\limes_{n\rightarrow 0}1-\limes_{n\rightarrow 0}\bruch{x^2}{3!}+\limes_{n\rightarrow 0}\bruch{x^4}{5!}\pm ...=1-0+0\pm...=1[/mm]
bei
[mm] $=1+\lim_{x \to 0}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
[/mm]
solltest Du eigentlich noch 'nen Grund angeben, warum Du
[mm] $\lim \sum=\sum \lim$
[/mm]
schreiben darfst. (Also warum Du den Limes unter das Summenzeichen ziehen
darfst - und auf den Verschreiber mit [mm] $\red{n }\to [/mm] 0$ wurde ja schon hingewiesen!)
Man kann natürlich auch sowas machen:
[mm] $\left|\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right|$ $\le$ $\sum_{n=0}^\infty \frac{|x|^{2n+1}}{(2n+1)!}$ $\le$ $\sum_{n=\red{1}}^\infty |x|^n [/mm] = [mm] \frac{|x|}{1-|x|}.$
[/mm]
Das geht und hilft Dir, denn bei $x [mm] \to [/mm] 0$ kannst Du ja o.E. $0 < |x| < [mm] 1\,$ [/mm] annehmen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Do 23.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Es gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x}=\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}=\sin'(0)=\cos(0)=1
[/mm]
Grüße gehen raus an Marcel und FRED
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:58 Do 23.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
>
> Es gilt:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x}=\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}=\sin'(0)=\cos(0)=1[/mm]
>
>
> Grüße gehen raus an Marcel und FRED
Hallo Acht,
da hast Du aber achtgegeben !
FRED
>
> DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:09 Do 23.01.2014 | | Autor: | Schuricht |
Ja, wir dürfen aber noch nicht ableiten.
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