Grenzwerte, Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:57 Di 31.05.2005 | | Autor: | DisGah |
Hallo erstmal.
Ich sitze hier eigentlich schon recht verzweifelt vor meinem aktuellen Übungsblatt und komme einfach nicht mit Reihen klar. Diese Dingern überfordern mein Denkvermögen *seufz*.
Deswegen zu Anfang mal eine Verständnis-Frage. Bei einer unendlichen Reihe, bspw.
[mm] \summe_{i=3}^{\infty} \bruch{1}{i(i+1)}
[/mm]
muss man doch um die Konvergenz zu bestimmen die Partialsumme auf Konvergenz untersuchen... Die Partialsumme wäre doch in diesem Fall dann:
[mm] \summe_{i=3}^{n} \bruch{1}{i(i+1)} [/mm] n -> [mm] \infty
[/mm]
und diese Summe wird dann über diverse Kriterien berechnet, in dem fall einfach durch aufsplitten des bruches in [mm] \bruch{1}{i} [/mm] * [mm] \bruch{1}{i+1} [/mm]
wobei hier ja dann das 1/n gegen 0 konvergiert und somit konvergiert dann auch die reihe gegen 0. sehe ich das richtig?
wenn ja, bei dieser summe ist es ja noch relativ einfach, sich da was rauszuziehen, von dem man die konvergenz kennt, aber wie gehe ich beispielsweise sowas wie ((1/2) - [mm] (i/2))^n [/mm] an? ich hab das schon mit den einzelnen Reihengliedern getestet, was für n = 1 usw rauskomtm und versucht, da was zu finden, was ich verwenden kann. bin allerdings kläglich gescheitert... also, wie geht das? *verzweifeltbin*
dann hätte ich noch eine weitere frage, die kürzer zu beantworten sein drüfte. kann ich log(5n+1) irgendwie so umschreiben, dass ich bestimmt sagen kann, das konvergiert gegen [mm] \infty [/mm] ? weil eigentlich ist es klar, logn konvergiert ja gegen [mm] \infty [/mm] , aber wie beweis ich dann ,dass das andere auch gegen das strebt... ???
ich hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen. vorallem mit den reihen. schreib am samstag klausur und ich sollte das langsam echt mal verstehen.
schonmal tausend dank
liebes grüßle, eure disgah
ich versichere, dass ich diese frage in kein anderes forum gestellt habe
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Hallo DisGah,
Ich habe mal im Internet einen Artikel über Leibniz gelesen, wo er 1672 in Paris den Grenzwert von [m]\textstyle\sum_{i = 1}^{\infty}{\frac{2}{i(i + 1)}}[/m] berechnen mußte. Dazu schreiben wir deine Reihe zunächst aus:
[m]\sum\limits_{i = 1}^\infty {\frac{1}
{{i\left( {i + 1} \right)}}} = \frac{1}
{2} + \frac{1}
{6} + \frac{1}
{{12}} + \frac{1}
{{20}} + \frac{1}
{{30}} + \cdots + \frac{1}
{{2 + \cdots + 2n}} + \cdots[/m]
jetzt betrachten wir die (wohlgemerkt divergente) harmonische Reihe ohne ihr Anfangsglied 1 und addieren dazu deine Reihe:
[m]\begin{gathered}
\left( {\sum\limits_{i = 2}^\infty {\frac{1}
{i}} } \right) + \left( {\sum\limits_{i = 1}^\infty {\frac{1}
{{i\left( {i + 1} \right)}}} } \right) = \left( {\frac{1}
{2} + \frac{1}
{3} + \frac{1}
{4} + \cdots } \right) + \left( {\frac{1}
{2} + \frac{1}
{6} + \frac{1}
{{12}} + \frac{1}
{{20}} + \frac{1}
{{30}} + \cdots } \right) \hfill \\
\mathop = \limits^{{\texttt{Umordnen}}} \underbrace {\left( {\frac{1}
{2} + \frac{1}
{2}} \right)}_{ = 1} + \underbrace {\left( {\frac{1}
{3} + \frac{1}
{6}} \right)}_{\frac{1}
{2}} + \underbrace {\left( {\frac{1}
{4} + \frac{1}
{{12}}} \right)}_{\frac{1}
{3}} + \cdots = \sum\limits_{i = 1}^\infty {\frac{1}
{i}} \stackrel{\begin{subarray}{l}
{\texttt{Das darf man nicht}}{\texttt{, da}} \\
{\texttt{die harmonische Reihe}} \\
{\texttt{divergiert}}{\texttt{.}}
\end{subarray}}{\operatorname{\textcolor{red}{\Leftrightarrow}}}\sum\limits_{i = 1}^\infty {\frac{1}
{{i\left( {i + 1} \right)}}} = \left( {\sum\limits_{i = 1}^\infty {\frac{1}
{i}} } \right) - \left( {\sum\limits_{i = 2}^\infty {\frac{1}
{i}} } \right) = 1 \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Viele Grüße
Karl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:59 So 25.11.2007 | | Autor: | Karl_Pech |
Wie ich später festgestellt habe, gibt es durchaus einen Weg mit dieser Lösung zu arbeiten.
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Hallo Disgah!
Nun zu Deiner 2. Frage ...
> dann hätte ich noch eine weitere frage, die kürzer zu
> beantworten sein drüfte. kann ich log(5n+1) irgendwie so
> umschreiben, dass ich bestimmt sagen kann, das konvergiert
> gegen [mm]\infty[/mm] ? weil eigentlich ist es klar, logn
> konvergiert ja gegen [mm]\infty[/mm] , aber wie beweis ich dann,
> dass das andere auch gegen das strebt... ???
Du kannst ja abschätzen:
[mm] $\log(5n+1) [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ [mm] \log(n)$ $\forall [/mm] \ n \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN$ [/mm] !
Dies gilt wegen der (strengen) Monotonie der [mm] $\log$-Funktion.
[/mm]
(Die [mm] $\log$-Funktion [/mm] ist ja streng monoton steigend.)
Daraus folgt nun (analog zur Begründung oben), daß auch [mm] $\log(5n+1)$ [/mm] für unendlich große n gegen $+ \ [mm] \infty$ [/mm] strebt.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 Mi 01.06.2005 | | Autor: | nas181 |
man sollte die aufgabe mit der partial summen rechnen und kommt 1/3 raus.(index fängt bei i=3 oder wie ich sehe)
[mm] \summe_{i=3}^{n}1/i(i+1)= [/mm] -1 [mm] \summe_{i=3}^{n}1/(i+1)-1/i
[/mm]
und mit einfacher rechnung bekommt man 1/3 raus
viel spass bei der klausur!!!
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Konvergenzkriterien![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Wikipedia : Konvergenzkriterium