Grenzwerte Folgen und Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Umfrage) Beendete Umfrage  | | Datum: | 14:09 Mi 25.12.2013 | | Autor: | LSbc |
| Aufgabe | | Ein Frage zum Grenzwert bei Folgen und Reihen |
Gibt es eine allgemeine Vorgehensweise zur Grenzwertbestimmung bei Folgen und Reihen?
Bei Reihen kann man ja zum Teil eine Formel benutzen, sofern sie geometrisch ist. Wie ist das aber beim Rest?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 Mi 25.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ein Frage zum Grenzwert bei Folgen und Reihen
> Gibt es eine allgemeine Vorgehensweise zur
> Grenzwertbestimmung bei Folgen und Reihen?
Ein allgemeingültiges Kochrezept gibt es da nicht.
Meist versucht man die Folge umzuformen, bis bekannte/schon bewiesene Grenzwerte auftauchen.
Sicherlich solltest du für natürliche n den Wert für [mm] \lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x^{n}} [/mm] kennen,
außerdem könnte für [mm] r\in\IR [/mm] Kenntnis über den Ausdruck [mm] \lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac{r}{x}\right)^{x} [/mm] weiterhelfen.
Auch ein gewisser l'Hospital könnte weiterhelfen.
> Bei Reihen kann man ja zum Teil eine Formel benutzen,
> sofern sie geometrisch ist. Wie ist das aber beim Rest?
Sicher, die geometrische Reihe und ihren Reihenwert zu kennen, ist auch ein guter Plan.
Für weitere Antworten lasse ich die Frage mal als Umfrage weiterlaufen.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Mi 25.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Ich werde hier nicht alles ausführlich dokumentieren,
aber anhand von Beispielen dir die Basics zeigen.
Wenn du dazu fragen hast, kannst du diese gerne stellen.
Hier sind die Basics:
1.Definition:
[mm] \forall\epsilon>0\exists N\in\IN\forall n\ge N:|a_n-a|<\epsilon
[/mm]
Standardbeispiel: [mm] a_n=\frac{1}{n}
[/mm]
1.Rechenregeln:
Diese werde ich hier nicht aufschreiben,
aber du solltest dir bewusst sein,
wieso du die folgende Rechnung durchführen kannst:
Beispiel: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{\pi n^2-8}{n^2-e}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{n^2(\pi-\frac{8}{n^2})}{n^2(1-\frac{e}{n^2})}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{\pi-\frac{8}{n^2}}{1-\frac{e}{n^2}}=\frac{\limes_{n\rightarrow\infty}\pi-\frac{8}{n^2}}{\limes_{n\rightarrow\infty}1-\frac{e}{n^2}}=\frac{\pi-\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{8}{n^2}}{1-\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{e}{n^2}}=\pi
[/mm]
3.Wichtige Grenzwerte:
Sei im folgenden [mm] \alpha [/mm] eine Konstante.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\alpha}=1
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n}=1
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n!}=\infty
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sqrt[n]{n!}=\frac{1}{e}
[/mm]
Exponentialfunktion:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{x}{n})^n=e^x
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{x}{n})^n=e^{-x}
[/mm]
Hier ist es wichtig, dass du auch Brüche, die dazu führen, sofort erkennst.
Beispiel:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\frac{n+1}{n})^n=e [/mm] (nachrechnen!)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\frac{n-1}{n})^n=\frac{1}{e} [/mm] (nachrechnen!)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\vektor{\alpha \\ n}=0, \alpha>1
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{\alpha^n}{n!}=0
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{n^n}{n!}=\infty
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n(\sqrt[n]{\alpha}-1)=\ln(\alpha),\alpha\in\IR_{>0}
[/mm]
Die Liste kann man natürlich noch fortfahren!
4.Sandwichsatz
Beispiel:
Zu zeigen:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x}=1
[/mm]
Beweis:
Es gilt:
[mm] \alpha)\cos(x)\le\frac{\sin(x)}{x}\le$1$
[/mm]
[mm] \beta)\limes_{x\rightarrow 0}\cos(x)=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x}=1
[/mm]
Das wars erstmal von mir 
Gruß
DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Mi 25.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ein Frage zum Grenzwert bei Folgen und Reihen
> Gibt es eine allgemeine Vorgehensweise zur
> Grenzwertbestimmung bei Folgen und Reihen?
> Bei Reihen kann man ja zum Teil eine Formel benutzen,
> sofern sie geometrisch ist. Wie ist das aber beim Rest?
Reihen sind auch nur Folgen: eine Reihe [mm] $\sum_{n=n_0}^\infty a_n$ [/mm] steht
zunächst mal formal für nichts anderes als die Folge ihrer Partialsummen,
d.h. es gilt
[mm] $\sum_{n=n_0}^\infty a_n=\left(\sum_{k=n_0}^n a_k\right)_{n=n_0}^\infty$
[/mm]
Ansonsten ist Deine Frage viel zu allgemein, als dass man sie mal nebenher
beantworten könnte. Wofür gibt's das Mathematikstudium, wo man gerade
zu Beginn einen großen Teil solcher Fragen erstmal mit elementarem Wissen
behandelt:
![[]](/images/popup.gif) Bspw. Kapitel 5 und Kapitel 6
Das ist aber längst nicht alles, das sind erste Grundlagen. Alleine in dem
Skript findest Du eigentlich immer in jedem Kapitel Ergänzungen diesbezüglich
- ein besonderes Augenmerk sei dabei auf die Kapiteln mit Stetigkeit oder
Funktionenfolgen und Funktionenreihen gelegt.
Aber das kann man eigtl. beliebig tief weiter verfolgen: Sobald man in die
Maß- und Integrationstheorie eintaucht, oder sobald man sich mit
Funktionalanalysis oder Approximationstheorie beschäftigt, oder sobald
man sich mit Limitierungstheorie beschäftigt oder oder oder...
Überall wirst Du besondere Ergebnisse finden, und diesen einen gewissen
Stellenwert zuordnen. Nicht unerwähnt soll dabei insbesondere die
Fourieranalysis bleiben, mit dessen Mitteln man sich bspw.
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\pi^2/6$
[/mm]
herleiten kann. Aber da finden sich auch andere Wege, soweit ich weiß
machen das etwa Funktionentheoretiker lieber anders (irgendwie unter
Verwendung der Gamma-Funktion und dem Weierstraß-Produkt... jedenfalls
habe ich da noch eine trübe Erinnerung).
Das Fazit ist: Am Besten erlernt man erstmal die Grundlagen in Analysis
und Funktionentheorie. Dann wäre es nicht schlecht, wenn man sich ein
wenig mit Maß- und Integrationstheorie (in der Lebesgueschen!) auskennt.
Dann hat man schonmal ein kleines Grundlagengerüst (welches man nicht
überschätzen sollte - aber auch nicht unterschätzen sollte).
Und viel weiteres kann man meist damit schon gut behandeln, wenngleich
auch sicher nicht alles. Aber alleine mit dem Durcharbeiten des Erwähnten
hat man sicher auch erstmal schon genug zu tun, wenn das alles noch
mehr oder weniger Neuland ist.
Gruß,
Marcel
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Hallo LSbc,
Ein klassisches (wenn nicht antikes) aber didaktisch unerreichbares Werk zum Thema ist Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen von Konrad Knopp aus der Zeit, als diese Dinge tatsächlich noch Forschungsgegenstand in der Mathematik waren. Wie sehr man sich in ein scheinbar so oberflächliches Thema vertiefen kann, das in den Analysis-Vorlesungen keinen Zweck als Begründung der Differential- und Integralrechnung zu haben scheint, ist schon erstaunlich.
Liebe Grüße,
UniverselllesObjekt
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 22:32 Mi 25.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo LSbc,
>
> Ein klassisches (wenn nicht antikes) aber didaktisch
> unerreichbares Werk zum Thema ist
> Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen
> von Konrad Knopp aus der Zeit, als diese Dinge tatsächlich
> noch Forschungsgegenstand in der Mathematik waren.
auch, wenn ich nicht LSbc bin: das kannte ich noch nicht. Mal nebenher
gefragt: Stimmt Dein mathematischer Background? (Ich würde den vom
Gefühl her höher einstufen!)
> Wie sehr man sich in ein scheinbar so oberflächliches Thema
> vertiefen kann, das in den Analysis-Vorlesungen keinen
> Zweck als Begründung der Differential- und
> Integralrechnung zu haben scheint, ist schon erstaunlich.
Das finde ich aber eine gewagte Hypothese - ich habe oben alleine schon
ganze Theoriefelder aufgezählt, in der das alles Anwendung findet und in
denen man ohne diese Grundlagen es sicherlich um einiges schwerer
hätte; vielleicht wäre es sogar unmöglich, da "richtig" voranzukommen.
Und unerwähnt gelassen habe ich dabei noch solche Felder wie Numerik
oder auch andere Bereiche der Informatik - insbesondere in der Numerik
bedient man sich ja nicht selten gerne mit Ergebnissen der Funktionalanalysis.
Und wenn man will, kann man noch viel weiter über den Tellerrand gucken:
Sowas brauchen nicht selten Physiker, Maschinenbauer, Ingenieure...
Gruß,
Marcel
> Liebe Grüße,
> UniverselllesObjekt
P.S. Du hast Dich mit 3 [mm] $\ell$ [/mm] geschrieben. 
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@Marcel: Du hast mich missverstanden. Ich meine nicht, dass die Theorie der Reihen eine minderwertige Hilfswissenschaft ist. Allein die Ästhetik, die sich im von mir angeführten Buch findet, gibt ihr eine eigenständige Existenzberechtigung (ihren Nutzen in der höheren Analysis kann ich nicht beurteilen, dort kenne ich mich nicht aus). Ich meinte, dass die Anfängervorlesungen (leider) häufig diesen Eindruck vermitteln.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
P.S.: Ich habe mich wohl am Handy einmal bei UniversellesObjekt verschrieben, seitdem kommt die Autokorrektur :-D ich habe es jetzt geändert, vielen Dank für den Hinweis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:51 Do 26.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo LSbc,
>
> Ein klassisches (wenn nicht antikes) aber didaktisch
> unerreichbares Werk zum Thema ist
> Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen
> von Konrad Knopp
Ja, der gute alte Knopp .....
> aus der Zeit, als diese Dinge tatsächlich
> noch Forschungsgegenstand in der Mathematik waren.
>Wie sehr
> man sich in ein scheinbar so oberflächliches Thema
> vertiefen kann,
Von welchem Thema sprichst Du ??? Vom Thema "unendliche Reihen " ?
Wenn ja, so ist das Wort "oberflächlich" völlig fehl am Platz !!!
> das in den Analysis-Vorlesungen keinen
> Zweck als Begründung der Differential- und
> Integralrechnung zu haben scheint
Was ist los ? Das ist doch völliger Quatsch.
> , ist schon erstaunlich.
Erstaunlich ist, wie man sich so äußern kann !
FRED
>
> Liebe Grüße,
> UniverselllesObjekt
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Hi fred,
hast du meine Antwort zu Marcel gelesen? Es ist nunmal so, dass viele Vorlesungen bzw. Bücher zur Analysis I auf mich so gewirkt haben, als wollten die Autoren nur schnell die allereinfachsten Sätze über Folgen und Reihen beweisen, um dann schnell "richtige Analysis" wie Diff. und Int.-rechnung behandeln zu können.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:24 Do 26.12.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Hi fred,
>
> hast du meine Antwort zu Marcel gelesen? Es ist nunmal so,
> dass viele Vorlesungen bzw. Bücher zur Analysis I auf mich
> so gewirkt haben, als wollten die Autoren nur schnell die
> allereinfachsten Sätze über Folgen und Reihen beweisen,
> um dann schnell "richtige Analysis" wie Diff. und
> Int.-rechnung behandeln zu können.
>
Sorry, aber dann waren es entweder keine richtigen Analysis-Bücher, oder du hast sie nicht richtig durchgelesen. Ich würde dir einmal das mittlerweile leider etwas in Vergessenheit geratene Lehrwerk Analysis 1 von Wolfgang Walter empfehlen. Dort wird ganz klar aufgezeigt, wie sich historisch gesehen die Analysis aus dem Berechnen von Grenzwerten durch Abschätzungen entwickelt hat. Und dabei haben Folgen und Reihen schon immer die entscheidende Rolle gespielt, als Stichwort sei nur die klassische Exhaustionsmethode angeführt, wie sie etwa Archimedes zur Berechnung der Kreisfläche verwendet hat.
Insbesondere ist es eben immer wieder der gleiche Irrtum, nämlich dass die Analysis erst durch das Leibniz'sche Kalkül 'erfunden' wurde. Nein: das Rechnen mit letztendlich infinitesimalen Größen war schon lang vorher da, als Idee zumindest!
Gruß, Diophant
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> Analysis 1 von Wolfgang Walter
... der übrigens Knopp persönlich kannte und u.a. das Vorwort zur 6.Auflage c.a. 100 Jahre nach dem ersten Erscheinen des Buches von Knopp verfasst hat.
Ich sage es noch einmal: Ich brauche nicht von Schönheit oder Wichtigkeit der Theorie der Reihen überzeugt zu werden. Ich habe persönlich das Gefühl, dass die Lehre (in den Teilen, wie ich sie kennen gelernt habe (ich gebe zu, dass ich kein ausgewachsener Analytiker (nicht einmal unausgewachsener) bin, der jedes Lehrwerk kennen würde)) diesen beiden Aspekten oft nicht gerecht wird, und wollte (für den Fall, dass der Fragesteller oder ein sonstiger Leser schon ähnliche Gefühle wie ich gehabt haben sollte) ein Werk nennen, das sich u.a. die Verhinderung genau diesen Eindruckes zum Ziel macht.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:46 Do 26.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Analysis 1 von Wolfgang Walter
> ... der übrigens Knopp persönlich kannte
Ja, Walter hatte bei Knopp Vorlesungen in Tübingen gehört
(... und ich dann später Vorlesungen bei Walter in Karlsruhe)
FRED
> und u.a. das
> Vorwort zur 6.Auflage c.a. 100 Jahre nach dem ersten
> Erscheinen des Buches von Knopp verfasst hat.
>
> Ich sage es noch einmal: Ich brauche nicht von Schönheit
> oder Wichtigkeit der Theorie der Reihen überzeugt zu
> werden. Ich habe persönlich das Gefühl, dass die Lehre
> (in den Teilen, wie ich sie kennen gelernt habe (ich gebe
> zu, dass ich kein ausgewachsener Analytiker (nicht einmal
> unausgewachsener) bin, der jedes Lehrwerk kennen würde))
> diesen beiden Aspekten oft nicht gerecht wird, und wollte
> (für den Fall, dass der Fragesteller oder ein sonstiger
> Leser schon ähnliche Gefühle wie ich gehabt haben sollte)
> ein Werk nennen, das sich u.a. die Verhinderung genau
> diesen Eindruckes zum Ziel macht.
>
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
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