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| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion f(x) = 1 - 4x . Was ist der Grenzwert von f(x) für x [mm] \to \bruch{-3}{2}?
[/mm]
Zur Berechnung von Grenzwerten:
Wenn es für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0 gibt, so dass für alle |x-x0| < [mm] \delta [/mm] für die Funktionswerte |f(x)-f(x0)| < [mm] \varepsilon [/mm] gilt, dann ist [mm] \limes_{x\rightarrow\x0} [/mm] f(x) = f(x0) der Grenzwert von f(x) an der Stelle x0.
Beweisen Sie den Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow\(-3/2)} [/mm] f(x) = 7. Beginnen sie dazu mit der Bedingung für [mm] \varepsilon [/mm] und finden sie ein passendes [mm] \delta= \delta (\varepsilon), [/mm] das die Bedingung für die x-Werte erfüllt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen:)
Wir hatten diese Art, Grenzwerte zu bestimmen zwar in der Vorlesung besprochen, allerdings ging mir das ein wenig schnell und ich habe es nicht so wirklich verstanden.
Auch googlen hat mich nicht wirklich weiter gebracht, weil ich nur auf sehr komplizierte Artikel gestoßen bin. (Wenn ich einen guten übersehen habe - gerne her damit! oder auch Videos)
Aber nun zu der Aufgabe. Die vorgehensweise ist ja ungefähr beschrieben. Nun meine Frage, darf ich als Grenzwert also für f(x0) direkt 7 einsetzen? Also für mein Verständnis müsste ich das ja eigentlich dürfen, da ich es ja nur beweisen soll oder?
für die Bedingung von Epsilon käme dann ja das dabei heraus:
|1-4x -7| < [mm] \varepsilon [/mm]
Wenn man das nach x auflöst (kann man das?) käme folgendes:
|x| > [mm] \bruch{-(\varepsilon)}{4} [/mm] -1,5
Nächste Überlegung wäre dieses Ergebnis in die Bedingung für Delta einzusetzen, da mann ja delta in Abhängigkeit von Epsilon darstellen soll. Das würde ja hinhauen.
|x-x0| < [mm] \delta [/mm]
[mm] |\bruch{-(\varepsilon)}{4} [/mm] -1,5| < [mm] \delta [/mm] + x0
aber eigentlich ist das ja keine Gleichung, muss man es deswegen vielleicht doch so schreiben:
[mm] \bruch{-(\varepsilon)}{4} [/mm] -1,5 < x < [mm] \delta [/mm] + xo
In meinem Kopf ist irgendwie alles wirr und ich habe das Gefühl, egal was ich ausrechne, auf kein Ergebnis zu kommen.
Mir würde es auch schon wahnsinnig helfen, auf den Gedanken gebracht zu werden, was für ein Ergebnis da raus kommen soll.
Oder muss ich irgendwann einfach für ein paar Epsilons austesten ob die Bedingung für Delta auch gegeben ist?
Vielen lieben Dank:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Sa 16.05.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja du darfst erstmal behaupten, dass der GW 7 ist, dann nusst du aber zum Beweis zu jedem [mm] \epsilon [/mm] ein [mm] \delta [/mm] angeben so dass für |x-(-3/2)|< [mm] \delta [/mm] |1-4x-7|< [mm] \epsilon
[/mm]
wie du aufgelöst hast ist falsch, das sieht man direkt, links steht |x| also etwa >0 rechts eine negative Zahl das ist zwar immer richtig aber nicht hilfreich
|-4x-6|=|-4*(x+)3/2|=4*|x+3/2|
findest du jetzt ein passendes [mm] \delta [/mm] zu jedem [mm] \epsilon?
[/mm]
Gruß leduart
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Erstmal danke für deine Antwort.
Stimmt, das würde mir nicht sonderlich helfen, da hast du Recht.
Allerdings verstehe ich deine Gleichung am Ende so gar nicht. Wo ist denn nun das Epsilon und Delta hin?
|-4x - 6| = |-4x + 3/2| stimmt doch so gar nicht und wie kommst du darauf? :D
Tschuldige, wenns offensichtlich ist, aber ich glaub ich verstehe die Methode noch viel zu wenig um dies zu verstehen..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 Sa 16.05.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hab mich leider vertippt, es fehlte eine Klammer
|-4x - 6| = |-4(x + 3/2)| =4*|x+3/2|
die [mm] \epsilon [/mm] und [mm] \delta [/mm] musst du nun selbst da rein bringen, indirekt stehen sie schon da.
Gruß leduart
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Okay super, dann hab ich das verstanden, wie du drauf gekommen bist! :)
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Glaube ich habe verstanden, was du meinst. Hast glaub ich nur die Klammersetzung ein wenig falsch gemacht oder?
Also meinst du |-4x -6| = |-4* (x + 3/2)| ?
Dann würde es für mich auf alle Fälle sinn machen.
Würde das bedeuten, dass das Epsilon 4 mal so groß sein müsste wie das Delta?
Weiß nicht auf was für ein Ergebnis das schließt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Sa 16.05.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast das falsch formuliert, nicht [mm] \epsilon [/mm] muss...
sondern man darf ein beliebiges [mm] \epsilon [/mm] vorgeben dann muss man ein dazu passendes [mm] \delta [/mm] angeben hier ist dann [mm] \delta<=\epsilon/4
[/mm]
also wenn jemand [mm] \epsilon=0.01 [/mm] vorgibt, kannst du sofort sagen ja das gilt wenn |x+3/2|<0,0025 usw.
also immer zu JEDEM möglichen [mm] \epsilon [/mm] ein "passendes" [mm] \delta [/mm] finden.
Gruß leduart
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Alles klar. Das macht für mich Sinn, dann war ich ja gar nicht allzu weit enfernt.
Reicht das nun als Beweis?
Wenn ich statt 7 irgendeinen anderen Grenzwert einsetzen würde, zum Beispiel 5. Würde dann schon allein reichen, dass man die eine Bedingung nicht in Abhängigkeit der Anderen darstellen kann? Also ob das reichen würde, um zu beweisen, dass 5 nicht der Grenzwert ist.
Ich verstehe die Rechnung schon, nur den ganzen Sinn, warum das nun als Grenzwert zu sehen ist nicht.
Aber das kann ich mir in Ruhe nochmal versuchen anzueignen. Nur wenn dazu irgendwer einen super Link oder eine gute Erklärung hat:)
Vielen Dank für deine Hilfe:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 So 17.05.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du gleich 5 als falschen GW nimmst hast du sofort einen Wiederspruch denn es gibt schon für [mm] \epsilon=1 [/mm] kein [mm] \delta [/mm] mehr, so dass |f(x)-5|<1 für |x-5|< [mm] \delta.
[/mm]
wenn du als GW 7,000001 genommen hättest fibt es viel [mm] \epsilons [/mm] und passende [mm] \delta [/mm] s, aber da [mm] \epsilon [/mm] ja auch 0,00000001 sein darf findest du auch dazu kein [mm] \delta [/mm] mehr..
Aber ich gebe zu dieses Beispiel für Stetigkeit ist eigentlich so leicht, dass man den Sinn kaum einsieht, Es ist der Versuch, dass ihr übt ein passendes [mm] \delta [/mm] zu finden, und das ist hier ja sehr leicht. die späteren Stetigkeitsbeweise werden schwieriger , deshalb dies einfachen Beispiele zuerst. hier "sieht" man ja noch wenn man mit x auf -3/2 zuläuft dass man dann sich immer mehr f(x)=7 nähert- eigentlich schon ohne jede Rechnerei,- deshalb leuchtet es dir nicht sehr ein.
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:57 Mo 18.05.2015 | | Autor: | fred97 |
[mm] $|f(x)-f(x_0)|=4|x-x_0| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $ [mm] \gdw $|x-x_0| [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{4}$
[/mm]
FRED
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