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| Aufgabe | Bestimme den Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} \sin(\frac{i-1}{n})(cos(\frac{1}{n}) [/mm] - [mm] cos(\frac{i-1}{n}))
[/mm]
Tipp: Benutze die Riemann-Integrierbarkeit der Funktion [mm] $\sin^2 [/mm] x$ |
Hallo,
an diesem monströsen Teil sitze ich schon seit Stunden und habe echt keine Ahnung, wie ich das lösen soll.
Habe mit den Additionstheoreme rumprobiert, umgeformt usw. doch dadurch wurde das immer unübersichtlicher und ein Ende schien nicht in Sicht zu sein...
Kann mir jemand einen Schubs in die richtige Richtung geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:23 Fr 27.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme den Grenzwert:
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} \sin(\frac{i-1}{n})(cos(\frac{1}{n})[/mm]
> - [mm]cos(\frac{i-1}{n}))[/mm]
Das soll wohl lauten:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} \sin(\frac{i-1}{n})(cos(\frac{i}{n})[/mm] - [mm]cos(\frac{i-1}{n}))[/mm]
Wir setzen [mm] S_n:= \summe_{i=1}^{n} \sin(\frac{i-1}{n})(cos(\frac{i}{n})-cos(\frac{i-1}{n}))
[/mm]
Der Mittelwertsatz liefert [mm] t_{i,n} \in [\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}] [/mm] mit:
[mm] cos(\frac{i}{n})-cos(\frac{i-1}{n})=-\bruch{1}{n}sin( t_{i,n})
[/mm]
Damit ist [mm] S_n=- \summe_{i=1}^{n} \sin(\frac{i-1}{n})*\bruch{1}{n}sin( t_{i,n}) [/mm] und
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n} \sin^2(\frac{i-1}{n}) \le -S_n \le \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n}sin^2( t_{i,n})
[/mm]
Damit konv. [mm] (-S_n) [/mm] gegen [mm] \integral_{0}^{1}{sin^2(x) dx}
[/mm]
FRED
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> Tipp: Benutze die Riemann-Integrierbarkeit der Funktion
> [mm]\sin^2 x[/mm]
> Hallo,
>
> an diesem monströsen Teil sitze ich schon seit Stunden und
> habe echt keine Ahnung, wie ich das lösen soll.
>
> Habe mit den Additionstheoreme rumprobiert, umgeformt usw.
> doch dadurch wurde das immer unübersichtlicher und ein
> Ende schien nicht in Sicht zu sein...
>
> Kann mir jemand einen Schubs in die richtige Richtung
> geben?
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Hallo Fred,
danke für deine Antwort.
Ich hab dazu noch eine kleine Frage:
Warum kann man das so nach unten / nach oben abschätzen ?
> Damit ist [mm]S_n=- \summe_{i=1}^{n} \sin(\frac{i-1}{n})*\bruch{1}{n}sin( t_{i,n})[/mm]
> und
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n} \sin^2(\frac{i-1}{n}) \le -S_n \le \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n}sin^2( t_{i,n})[/mm]
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Sa 28.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
für [mm] x\le y\le1 [/mm] 1 gilt [mm] sinx\le [/mm] siny
Gruss leduart
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Danke leduart.
Das heißt, wir nutzen aus, dass
[mm] \sin (\frac{i-1}{n}) \le \sin(t_{i,n}) \le [/mm] 1
ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Sa 28.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:46 Sa 28.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fabian,
kleine Bemerkung:
> > ...
> > [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n} \sin^2(\frac{i-1}{n}) \le -S_n \le \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n}sin^2( t_{i,n})[/mm]
beachte, dass Fred [mm] $\lim_{n \to \infty}(-S_n)$ [/mm] angegeben hat. Es ist natürlich nicht schwer, damit dann die Existenz und den Wert von [mm] $\lim_{n \to \infty}S_n$ [/mm] zu begründen und zu berechnen - aber aufpassen sollte man dennoch.
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
danke für den Hinweis.
Liebe Grüße,
Fabian.
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