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| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte. Bei dem zweiten ist n eine natürliche Zahl.
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x^{\bruch{3}{2}}(\wurzel{x + 1} [/mm] + [mm] \wurzel{x - 1} [/mm] - [mm] 2\wurzel{x}) [/mm] $
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{\wurzel[n]{x + 1}-1}{x} [/mm] $
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} sin(\bruch{\pi}{n^3} [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{n} k^2). [/mm] $
Hinweis: [mm] \summe_{k=1}^{n} k^2) [/mm] = [mm] \bruch{n * (n + 1) * (2x + 1)}{6} [/mm] (dies müssen Sie nicht beweisen). |
Hinweis von mir: Ich kapiert nicht was der Editor von mir will. Ich sehe hier von meiner Seite aus keine Fehler bezüglich wie ich die Formeln geschrieben habe ... :/
a) Also hier hab ich das so gemacht
[mm] x^{\bruch{3}{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{x^3}
[/mm]
Das hab ich dann mit der Summe in der Klammer verrechnet, kam dann folgendes raus:
[mm] \wurzel{x^4 + x^3} [/mm] + [mm] \wurzel{x^4 - x^3} [/mm] - [mm] 2x^2
[/mm]
Jetzt erweiter ich den Bruch mit [mm] (\wurzel{x^4 + x^3} [/mm] - [mm] \wurzel{x^4 - x^3}), [/mm] sodass ich am Schluss so einen Bruch habe:
[mm] \bruch{2x^4 - 2x^2(\wurzel{x^4 + x^3} - \wurzel{x^4 - x^3}}{\wurzel{x^4 + x^3} - \wurzel{x^4 - x^3}} [/mm] = [mm] \bruch{2x^4}{\wurzel{x^4 + x^3} - \wurzel{x^4 - x^3}} [/mm] - [mm] 2x^2
[/mm]
Soll ich jetzt hier die Regel von L'Hospital anwenden? Oder hab ich was faslch gemacht?
b) [mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{\wurzel[n]{x + 1} - 1}{x}
[/mm]
Hier hab ich mir gedacht nehme ich die Regel von L'Hospital, dann hab ich
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{1}{n}(x [/mm] + [mm] 1)^{\bruch{1}{n} - 1} [/mm] - 1 = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] - 1
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 Do 26.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
Wie waer's, wenn du [mm]...[/mm] (oder auf eigene Gefahr $...$) verwenden wuerdest? Das duerfte Abhilfe schaffen :)
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 Do 26.08.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Felix
$...$ tuts, bisher habe ich auch im neuen Editor damit keine Probleme
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 Do 26.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte. Bei dem zweiten
> ist
> n eine natürliche Zahl.
>
> [mm]\limes_{x \rightarrow\infty} x^{\bruch{3}{2}}(\wurzel{x + 1} + \wurzel{x - 1} - 2\wurzel{x})[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow \blue{0}} \bruch{\wurzel[n]{x + 1}-1}{x}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} sin(\bruch{\pi}{n^3} * \summe_{k=1}^{n} k^2).[/mm]
>
> Hinweis: [mm]\summe_{k=1}^{n} k^2)[/mm] = [mm]\bruch{n * (n + 1) * (2\red{x} + 1)}{6}[/mm]
> (dies müssen Sie nicht beweisen).
Anstatt [mm] $\red{x}$ [/mm] gehört da [mm] $\blue{n}$ [/mm] hin.
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:33 Do 26.08.2010 | | Autor: | john_rambo |
ach ups, da hab ich wohl falsch abgeschrieben
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Hallo!
> Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte. Bei dem zweiten ist
> n eine natürliche Zahl.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} x^{\bruch{3}{2}}(\wurzel{x + 1} + \wurzel{x - 1} - 2\wurzel{x})[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{\wurzel[n]{x + 1}-1}{x}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} sin(\bruch{\pi}{n^3} * \summe_{k=1}^{n} k^2).[/mm]
>
> Hinweis: [mm]\summe_{k=1}^{n} k^2)[/mm] = [mm]\bruch{n * (n + 1) * (2x + 1)}{6}[/mm]
> (dies müssen Sie nicht beweisen).
> a) Also hier hab ich das so gemacht
>
> [mm]x^{\bruch{3}{2}}[/mm] = [mm]\wurzel{x^3}[/mm]
>
> Das hab ich dann mit der Summe in der Klammer verrechnet,
> kam dann folgendes raus:
>
> [mm]\wurzel{x^4 + x^3}[/mm] + [mm]\wurzel{x^4 - x^3}[/mm] - [mm]2x^2[/mm]
>
> Jetzt erweiter ich den Bruch mit [mm](\wurzel{x^4 + x^3}[/mm] -
> [mm]\wurzel{x^4 - x^3}),[/mm] sodass ich am Schluss so einen Bruch
> habe:
>
> [mm]\bruch{2x^4 - 2x^2(\wurzel{x^4 + x^3} - \wurzel{x^4 - x^3}}{\wurzel{x^4 + x^3} - \wurzel{x^4 - x^3}}[/mm]
> = [mm]\bruch{2x^4}{\wurzel{x^4 + x^3} - \wurzel{x^4 - x^3}}[/mm] -
> [mm]2x^2[/mm]
>
> Soll ich jetzt hier die Regel von L'Hospital anwenden? Oder
> hab ich was faslch gemacht?
Dieser typische Trick bei den Wurzeln, die dritte binomische Formel zu nutzen, bringt nur etwas, wenn man dann im Nenner ein "+" zwischen die Wurzeln bekommt, du hast aber ein Minus erzeugt und somit dasselbe Problem wie am Anfang.
Versuche Folgendes:
[mm]\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}-2*\sqrt{x}[/mm]
[mm] = \Big(\sqrt{x+1} - \sqrt{x}\Big) + \Big(\sqrt{x-1}-\sqrt{x}\Big)[/mm]
Nun in beiden Klammern separat die dritte binomische Formel anwenden!
> b) [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{\wurzel[n]{x + 1} - 1}{x}[/mm]
>
> Hier hab ich mir gedacht nehme ich die Regel von
> L'Hospital, dann hab ich
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{1}{n}(x[/mm] + [mm]1)^{\bruch{1}{n} - 1}[/mm]
> - 1 = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] - 1
Die Idee ist sehr gut (wenn du L'Hospital benutzen darfst  ), allerdings: Wo kommt die "-1" beim Ergebnis bei dir her?
Übrigens kann man wahrscheinlich auch durch "Tricks" zum Ergebnis gelangen: Durch die Bernoullische Ungleichung: Solange x [mm] \ge [/mm] 0, gilt
[mm](x+1) = (\sqrt[n]{x+1})^{n} = \Big((\sqrt[n]{x+1}-1)+1\Big)^{n} \ge 1 + n*(\sqrt[n]{x+1}-1)[/mm]
[mm]\Rightarrow \frac{x}{n}+1\ge \sqrt[n]{x+1}[/mm],
womit man die Abschätzung [mm]\frac{\sqrt[n]{x+1}-1}{x}\le \frac{1}{n}[/mm] erhält.
Grüße,
Stefan
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Hallo,
noch ein Hinweis zur dritten Aufgabe:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} sin(\bruch{\pi}{n^3} * \summe_{k=1}^{n} k^2).[/mm]
>
> Hinweis: [mm]\summe_{k=1}^{n} k^2)[/mm] = [mm]\bruch{n * (n + 1) * (2n + 1)}{6}[/mm]
Benutze als erstes den Hinweis, um die Summe zu ersetzen. Dann benutze, dass der Sinus stetig ist, also
[mm]\lim_{n\to\infty}\sin(a_{n}) = \sin\left(\lim_{n\to\infty}a_{n}\right)[/mm]
Grüße
Stefan
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