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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 So 21.06.2009 | | Autor: | equity |
| Aufgabe | Berechnen sie
[mm] \lim_{x \to \0}x^x [/mm] . |
Was mir bei solchen Aufgaben fehlt, ist auf jeden Fall das Verständnis, was ich erkennen muss und wie ich dann umformen muss, damit etwas brauchbares entsteht. Ich dachte, dass ich einfach mal so anfange, warum weiss ich nicht.
[mm] \lim_{x \to \0}x^x [/mm] = [mm] \lim_{x \to \0}ln(x^x) =\lim_{x \to \0}(x*lnx)
[/mm]
[mm] =\lim_{x \to \0}(\frac{lnx}{\frac{1}{x}})
[/mm]
jetzt wende ich glaube ich l´Hospital an
[mm] =\lim_{x \to \0}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{-x^2}}
[/mm]
Ich weiss aber einfach nicht weiter, ach ja, x geht gegen Null, habe ich hier irgendwie nicht hinbekommen.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 So 21.06.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Berechnen sie
>
> [mm]\lim_{x \to 0}x^x[/mm] .
> Was mir bei solchen Aufgaben fehlt, ist auf jeden Fall das
> Verständnis, was ich erkennen muss und wie ich dann
> umformen muss, damit etwas brauchbares entsteht. Ich
> dachte, dass ich einfach mal so anfange, warum weiss ich
> nicht.
>
> [mm]\lim_{x \to 0}x^x[/mm] = [mm]\lim_{x \to 0}ln(x^x) =\lim_{x \to 0}(x*lnx)[/mm]
>
Wie kommt denn das erste Gleichheitszeichen zu stande???
Schreib doch erstmal hin wie [mm] x^x [/mm] definiert ist. Das ist -immer- der Anfang.
> [mm]=\lim_{x \to 0}(\frac{lnx}{\frac{1}{x}})[/mm]
>
> jetzt wende ich glaube ich l´Hospital an
>
> [mm]=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{-x^2}}[/mm]
>
>
> Ich weiss aber einfach nicht weiter, ach ja, x geht gegen
> Null, habe ich hier irgendwie nicht hinbekommen.
Ohne den Backslash schreiben.
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 So 21.06.2009 | | Autor: | equity |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \lim_{x \to 0}x^x. [/mm] |
Die Aufgabe ist wirklich so gestellt. Wir hatten in der letzte Woche das Thema Exponentialfunktion und Logarithmus. In den Aufgabenstellungen wurden dann einige ältere Themen wieder aufgegriffen, so auch die Grenzwertberechnung.
Also nach dem 1. Gleichheitszeichen habe ich glaube ich logarithmiert oder die Abbildung gebildet?!? Ich verstehe diese Aufgaben überhaupt nicht, sorry.
LG
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Hallo equity,
> Berechnen Sie [mm]\lim_{x \to 0}x^x.[/mm]
> Die Aufgabe ist wirklich so gestellt. Wir hatten in der
> letzte Woche das Thema Exponentialfunktion und Logarithmus.
> In den Aufgabenstellungen wurden dann einige ältere Themen
> wieder aufgegriffen, so auch die Grenzwertberechnung.
>
> Also nach dem 1. Gleichheitszeichen habe ich glaube ich
> logarithmiert oder die Abbildung gebildet?!? Ich verstehe
> diese Aufgaben überhaupt nicht, sorry.
Merle hat dir doch nen heißen Tipp gegeben, nutze diesen:
Es ist [mm] $a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}$ [/mm] für $a>0$
Also [mm] $x^x=....$
[/mm]
Dann nutze aus, dass die e-Funktion stetig ist, dass also [mm] $\lim\limits_{x\to x_0}e^{g(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}$ [/mm] ist ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 So 21.06.2009 | | Autor: | equity |
Ich habe jetzt folgendes:
[mm] \lim_{x \to 0}x^x [/mm] = [mm] \lim_{x \to 0}e^{x*lnx} [/mm] = [mm] e^{\lim_{x \to 0}x*lnx}
[/mm]
dann betrachte ich den Exponenten:
[mm] \lim_{x \to 0}x*lnx [/mm] = [mm] \lim_{x \to 0} \frac{lnx}{\frac{1}{x}}
[/mm]
jetzt wende ich l´Hospital an und leite Zähler und Nenner ab:
= [mm] \lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{-x^2}}
[/mm]
Ist das bis jetzt richtig? Und was mache ich jetzt? Oder was sehe ich jetzt? Kann mir jemand beim Ende helfen? Irgendwie muss ja da irgendetwas mit e^? rauskommen, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 So 21.06.2009 | | Autor: | equity |
Wenn ich also den Doppelbruch vereinfache, dann habe ich:
[mm] \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{-x} [/mm] = [mm] \lim_{x \to 0}-x=0
[/mm]
Somit:
[mm] e^{\lim_{x \to 0}x*lnx} [/mm] = [mm] e^0=1
[/mm]
Ist das richtig?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 So 21.06.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Wenn ich also den Doppelbruch vereinfache, dann habe ich:
>
> [mm]\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{-x}[/mm] = [mm]\lim_{x \to 0}-x=0[/mm]
>
> Somit:
>
> [mm]e^{\lim_{x \to 0}x*lnx}[/mm] = [mm]e^0=1[/mm]
>
> Ist das richtig?
>
> Lg
Ja.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:25 So 21.06.2009 | | Autor: | equity |
Ein dickes danke schön an Euch beide :o))
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Fr 26.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
Ich verstehe immer noch nicht, wozu das ganze Gedöhns mit de L´Hospital bei dieser Aufgabe zumal nach Definition doch gilt [mm] 0^{0}=1?
[/mm]
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Fr 26.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo ms2008de!
Diese Definition kenne ich nicht. Wo hast Du diese Definition her?
Von daher macht es schon Sinn, diesen Grenzwert auch auf dem Rechenwege (für positive $x_$ !) zu ermitteln.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Fr 26.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Wie wärs mit Forster: Analysis 1 §2 Körper-Axiome:
Potenzen: Ist x eine reelle Zahl, so werden die Potenzen [mm] x^{n} [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] durch Induktion wie folgt definiert:
[mm] x^{0} [/mm] := 1, [mm] x^{n+1}:=x^{n}x [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 0.
Und jetzt kommts: (Man beachte, dass nach Definition [mm] 0^{0} [/mm] = 1.)
Aber auch wenn du bei wiki Potenzen eingibst, findest du folgendes:
"Null hoch Null":
In der oben genannten Definition wurde [mm] a^{0} [/mm] = 1 für alle a gesetzt, also ist insbesondere [mm] 0^{0} [/mm] = 1.
Wäre schon sehr seltsam, wenn beide falsch liegen würden...
Viele Grüße
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> Wie wärs mit Forster: Analysis 1 §2 Körper-Axiome:
> Potenzen: Ist x eine reelle Zahl, so werden die Potenzen
> [mm]x^{n}[/mm] für n [mm]\in \IN[/mm] durch Induktion wie folgt definiert:
> [mm]x^{0}[/mm] := 1, [mm]x^{n+1}:=x^{n}x[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] 0.
> Und jetzt kommts: (Man beachte, dass nach Definition [mm]0^{0}[/mm]
> = 1.)
> Aber auch wenn du bei wiki Potenzen eingibst, findest du
> folgendes:
> "Null hoch Null":
> In der oben genannten Definition wurde [mm]a^{0}[/mm] = 1 für alle
> a gesetzt, also ist insbesondere [mm]0^{0}[/mm] = 1.
> Wäre schon sehr seltsam, wenn beide falsch liegen
> würden...
Hallo,
ich bin ja auch kein Freund von überflüssigem Tamtam und Gedöns. Aber solches wurde hier nicht veranstaltet.
Es war in der Aufgabe ja nach dem Grenzwert von [mm] x^x [/mm] gefragt, und nicht nach der Definition von [mm] 0^0. [/mm] Definieren kann man doch viel, wenn der Tag lang ist...
Vergiß mal kurz die Aufgabe und guck diese an:
Ich betrachte eine Funktion
f: [0,7] [mm] \to \IR, [/mm] welche definiert ist durch
[mm] f(x):=\begin{cases} x^2, & \mbox{für } x\not=3 \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } x=3 \mbox{ } \end{cases}.
[/mm]
Du wirst feststellen, daß [mm] \lim_{x\to 3}f(x)=9 [/mm] ist, obgleich f(3)=1.
Vielleicht siehst Du jetzt, daß die Bearbeitung der Aufgabe durchaus einen Gewinn an Information gebracht hat.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Fr 26.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Allerdings ist doch die Funktion die du nennst ganz klar im Punkt 3 unstetig, während f: [mm] \IR_{+} \to \IR_{+} [/mm] mit [mm] f(x)=x^{x} [/mm] stetig ist für alle x, also auch x=0?
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> Allerdings ist doch die Funktion die du nennst ganz klar im
> Punkt 3 unstetig, während f: [mm]\IR_{+} \to \IR_{+}[/mm] mit
> [mm]f(x)=x^{x}[/mm] stetig ist für alle x, also auch x=0?
Deine Funktion ist im Punkt x=0 ja zunächst überhaupt gar nicht definiert, denn [mm] x^x= e^{x*\ln x}
[/mm]
Du kannst sie natürlich definieren (wie andere vor Dir) und sagen f(0):=1.
So.
Und nun fragst man sich: ist diese so definierte Funktion [mm] f:\IR_{+}^{0}\to \IR [/mm] stetig?
Zu diesem Zwecke wurde man nun dahergehen und den Grenzwert anschauen, feststellen: super, Grenzwert=Funktionswert, also stetig!
Die Definition [mm] 0^0:=1 [/mm] ist eher eine Folge davon, daß 1 eben der Grenzwert ist. Man definiert ja gerne sinnvoll, "organisch".
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Fr 26.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Vielen Dank dir nochmals für die ausführliche Erläuterung, jetzt hab ichs verstanden.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Fr 26.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Wie wärs mit Forster: Analysis 1 §2 Körper-Axiome:
> Potenzen: Ist x eine reelle Zahl, so werden die Potenzen
> [mm]x^{n}[/mm] für n [mm]\in \IN[/mm] durch Induktion wie folgt definiert:
> [mm]x^{0}[/mm] := 1, [mm]x^{n+1}:=x^{n}x[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] 0.
> Und jetzt kommts: (Man beachte, dass nach Definition [mm]0^{0}[/mm]
> = 1.)
Hallo,
diese Definition mag in einigen Sachzusammenhängen sinnvoll sein - in anderen Zusammenhängen hingegen nicht.
Es gilt für ALLE positiven reellen Zahlen x die Gleichung [mm] 0^x=0.
[/mm]
Unter diesem Aspekt kann man den Sinn der "Definition" [mm] 0^0=1 [/mm] durchaus in Frage stellen.
Auf alle Fälle ein guter Grund, die Grenzwertbetrachtung für [mm] x^x [/mm] durchzuführen...
Gruß Abakus
> Aber auch wenn du bei wiki Potenzen eingibst, findest du
> folgendes:
> "Null hoch Null":
> In der oben genannten Definition wurde [mm]a^{0}[/mm] = 1 für alle
> a gesetzt, also ist insbesondere [mm]0^{0}[/mm] = 1.
> Wäre schon sehr seltsam, wenn beide falsch liegen
> würden...
>
> Viele Grüße
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