Grenzwerte < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Di 01.01.2008 | | Autor: | Tea |
| Aufgabe | Berechne die folgenden Grenzwerte!
a) [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\log \cos 3x}{\log \cos 2x} [/mm] $(x>0)$
b) [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{3x^2 -x +5}{5x^2 +6x-3}
[/mm]
c) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{3x^2 -x +5}{5x^2 +6x-3}
[/mm]
d) [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\log \tan 2x}{\log \tan 3x} [/mm] $(x>0)$ |
Auf ein Neues :)
Tut mir leid, aber bei der a) und d) weiß ich echt überhaupt nicht wie ich das angehen soll. Ich habe L'Hopital versucht, aber das hat mich nicht wirklich weitergebracht.
Muss ich erst den $log$ eliminieren? Wie bekomme ich das denn hin?
Zur b)
Kann man einfach sagen, dass alle Terme, die ein $x$ enthalten gegen 0 gehen werden und der Grenzwert [mm] \bruch{5}{-3}=-\bruch{5}{3} [/mm] ist?
Zur c)
Hier erstmal [mm] $x^2$ [/mm] ausklammern. Und dann bei [mm] \bruch{3-\bruch{1}{x}+\bruch{5}{x^2}}{5+\bruch{6}{x^2}-\bruch{3}{x^2}} [/mm] sagen, dass alle Terme, die ein x im Nenner haben, gegen 0 gehen. Also wäre der Grenzwert [mm] \bruch{3}{5}.
[/mm]
Das sind meine Vermutung. Mag mir einer bei den anderen beiden helfen?
Vielen Dank!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Di 01.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tea!
Bei Aufgabe a.) und d.) führt der Weg jeweils mittels Herrn de l'Hospital zum Ziel.
Was erhältst Du denn nach dem jeweiligen Ableiten in Zähler und Nenner?
[mm] $$\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\log \cos(3x)}{\log \cos(2x)} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\bruch{3*[-\sin(3x)]}{\cos(3x)}}{\bruch{2*[-\sin(2x)]}{\cos(2x)}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{2}*\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\tan(3x)}{\tan(2x)} [/mm] \ = \ ...$$
Da es sich wiederum um den Fall [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] handelt, nochmals Herrn de l'Hospital um Hilfe bitten ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Di 01.01.2008 | | Autor: | Tea |
Auf geht's. Ableiten bis mir schwindelig wird :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Di 01.01.2008 | | Autor: | Tea |
Hallo!
Also, die a) habe ich ja danke deiner Hilfe jetzt lösen können.
2-mal de L'Hospital und dann kommt [mm] \bruch{9}{4} [/mm] raus.
:)
Aber die d.) will immer noch nicht. Ich sehe da auch gar nicht wieso ich Hopital anwenden kann. Es steht doch kein Ausdruck [mm] \bruch{0}{0} [/mm] da. Vielmehr ist es, falls ich "0" einsetze, was ich ja gar nicht darf nicht definiert.
Wie bekomme ich denn den $log$ über und unter dem Bruch weg?
Dankeschön!
|
|
|
| |
|
Hallo Stefan,
bei der (d) hast du in der Tat nicht den Fall [mm] $\frac{0}{0}$
[/mm]
Vielmehr hast du bei direktem Grenzübergang den ebenfalls unbestimmten Fall [mm] $\frac{-\infty}{-\infty}$ [/mm] für [mm] $x\downarrow [/mm] 0$
Also kannst du doch Hr. de L'Hôpitral zu Rate ziehen - und zwar 2mal, damit's auch klappt
[mm] $\frac{\ln(\tan(2x))}{\ln(tan(3x))}\longrightarrow \frac{-\infty}{-\infty}$ [/mm] für [mm] $x\downarrow [/mm] 0$
Also mit de l'Hôpital:
[mm] $\frac{\left[\ln(\tan(2x))\right]'}{\left[\ln(tan(3x))\right]'}=\frac{\frac{4}{\sin(4x)}}{\frac{6}{\sin(6x)}}=\frac{2}{3}\cdot{}\frac{\sin(6x)}{\sin(4x)}\longrightarrow \frac{2}{3}\cdot{}\frac{0}{0}$
[/mm]
Also nochmal mit de l'Hôpital ran....
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:37 Di 01.01.2008 | | Autor: | Tea |
Danke schachuzipus!
Ich habe mich beim Ableiten vertan bzw. es so kompliziert gemacht, dass ich nicht mehr weiterkam.
Jetzt und besonders mit
$sin(2x)=2sinxcosx$ sieht die Geschichte doch schon ganz anders aus.
Nach L'Hôpital erhalte ich nun - wie du bereits geschrieben hast - [mm] \bruch{2}{3} \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{sin(6x)}{sin(4x)}
[/mm]
nach nochmal L'Hôpital
[mm] \bruch{2}{3} [/mm] * [mm] \bruch{3}{2} \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{cos(6x)}{cos(4x)} [/mm] .
Der Grenzwert ist 1.
Richtig, oder?
Der Weg gefällt mir auf jeden Fall.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Di 01.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tea!
Soll bei Aufgabe b.) wirklich der Grenzwert gegen [mm] $x\rightarrow [/mm] \ [mm] \red{0}$ [/mm] ermittelt werden?
Dann hast Du beide Aufgaben richtig gelöst. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
|
|
|
|
