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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Do 28.06.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Untersuchen sie ob folgende Limites existieren und berechnen sie gegebenfalls die Grenzwerte:
[mm] (1)\limes_{x\rightarrow 2}\bruch{x^3-6x^2+12x-8}{x^2-4x+4}
[/mm]
[mm] (2)\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{|x|}{x}
[/mm]
[mm] (3)\limes_{x\rightarrow \infty}\wurzel{(x-a)(x-b)}-x [/mm] für [mm] a,b\in\IR
[/mm]
[mm] (4)\limes_{x\rightarrow 1}\bruch{x^n-1}{x^m-1} [/mm] für [mm] n,m\in\IZ, n,m\not= [/mm] 0 |
(1)
Durch Zerlegung in Linearfaktoren erhält man:
[mm] \limes_{x\rightarrow 2}\bruch{x^3-6x^2+12x-8}{x^2-4x+4}=\limes_{x\rightarrow 2}\bruch{(x-2)^3}{(x-2)^2}=\limes_{x\rightarrow 2}(x-2)
[/mm]
Jetzt sehe ich sofort, dass die Fkt. gegen 0 strebt für [mm] x\rightarrow [/mm] 2 aber wie zeige ich das formal korrekt?
(2)
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{|x|}{x}
[/mm]
[mm] \bruch{|x|}{x} [/mm] gibt immer [mm] \pm [/mm] 1 also konvergiert das ganze gegen [mm] \pm [/mm] 1 ... aber auch hier: wie zeige ich das formal korrekt?
(3)
[mm] \limes_{x\rightarrow \infty}\wurzel{(x-a)(x-b)}-x [/mm] für [mm] a,b\in\IR
[/mm]
Hier würde ich eine Fallunterscheidung machen:
1.Fall: (a,b> 0)
Es gilt (x-a)(x-b)< [mm] x^2 =>\wurzel{(x-a)(x-b)}< [/mm] x also strebt das ganze gegen [mm] -\infty
[/mm]
2.Fall: (a,b<0)
Es gilt [mm] (x-a)(x-b)>x^2 =>\wurzel{(x-a)(x-b)}> [/mm] x also strebt die Fkt gegen [mm] \infty
[/mm]
3.Fall: (a,b=0)
Es gilt [mm] (x-a)(x-b)=x^2 =>\wurzel{(x-a)(x-b)}= [/mm] x also strebt die Fkt gegen 0
4.Fall: (a<0, [mm] b\ge [/mm] 0)
Hier wieder unterteilen:
4.1.Fall: |a|>|b|
Dann gilt [mm] (x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab [/mm] und -(a+b)x >0 und damit [mm] (x-a)(x-b)>x^2 [/mm] => [mm] \wurzel{(x-a)(x-b)}> [/mm] x also strebt die Fkt gegen [mm] \infty
[/mm]
4.2.Fall: |a|<|b|
Dann gilt [mm] (x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab [/mm] und -(a+b)x <0 und damit [mm] (x-a)(x-b)
Aber auch hier: wie zeige ich das formell korrekt???
(4)
[mm] \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{x^n-1}{x^m-1} [/mm] für [mm] n,m\in\IZ, n,m\not= [/mm] 0
Dieser Grenzwert existiert nicht, da bei x=1 im Nenner [mm] (1^m-1)=0 [/mm] stehen würde und dies nicht möglich ist.
Auch hier wieder: wie formal korrekt?
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Gruß Zerwas
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> Untersuchen sie ob folgende Limites existieren und
> berechnen sie gegebenfalls die Grenzwerte:
> [mm](1)\limes_{x\rightarrow 2}\bruch{x^3-6x^2+12x-8}{x^2-4x+4}[/mm]
>
> [mm](2)\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{|x|}{x}[/mm]
>
> [mm](3)\limes_{x\rightarrow \infty}\wurzel{(x-a)(x-b)}-x[/mm] für
> [mm]a,b\in\IR[/mm]
> [mm](4)\limes_{x\rightarrow 1}\bruch{x^n-1}{x^m-1}[/mm] für
> [mm]n,m\in\IZ, n,m\not=[/mm] 0
> (1)
> Durch Zerlegung in Linearfaktoren erhält man:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 2}\bruch{x^3-6x^2+12x-8}{x^2-4x+4}=\limes_{x\rightarrow 2}\bruch{(x-2)^3}{(x-2)^2}=\limes_{x\rightarrow 2}(x-2)[/mm]
>
> Jetzt sehe ich sofort, dass die Fkt. gegen 0 strebt für
> [mm]x\rightarrow[/mm] 2 aber wie zeige ich das formal korrekt?
Was findest Du an Deiner Überlegung nicht korrekt. Nachdem Du gekürzt hast (und das darfst Du, denn Du darfst annehmen, dass [mm]x\neq 2[/mm] ist) nimmst Du den Limes einer stetigen Funktion von [mm]x[/mm], nämlich [mm]x\rightarrow x-2[/mm]: und in einem solchen Falle darfst Du die Awendung des Limes und die Anwendung der Funktion vertauschen:
[mm]\limes_{x\rightarrow 2}\bruch{x^3-6x^2+12x-8}{x^2-4x+4}=\limes_{x\rightarrow 2}\bruch{(x-2)^3}{(x-2)^2}=\limes_{x\rightarrow 2}(x-2) = 2-2 = 0[/mm]
gerade so, wie Du dies gemacht hast.
>
> (2)
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{|x|}{x}[/mm]
> [mm]\bruch{|x|}{x}[/mm] gibt
> immer [mm]\pm[/mm] 1 also konvergiert das ganze gegen [mm]\pm[/mm] 1 ... aber
> auch hier: wie zeige ich das formal korrekt?
Also hier ist Deine Überlegung falsch. Weil ja gilt:
[mm]\frac{|x|}{x} = \begin{cases}-1 & (x < 0)\\
\text{nicht definiert} & (x=0)\\
+1 & (x > 0)\end{cases}[/mm]
Daher existieren zwar die einseitigen Limites:
[mm]\lim_{x\rightarrow 0-}\frac{|x|}{x}=-1[/mm]
und
[mm]\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{|x|}{x}=+1[/mm]
aber sie sind nicht gleich: daher existiert der Limes [mm]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{|x|}{x}[/mm] nicht.
>
> (3)
> [mm]\limes_{x\rightarrow \infty}\wurzel{(x-a)(x-b)}-x[/mm] für
> [mm]a,b\in\IR[/mm]
> Hier würde ich eine Fallunterscheidung machen:
> 1.Fall: (a,b> 0)
> Es gilt (x-a)(x-b)< [mm]x^2 =>\wurzel{(x-a)(x-b)}<[/mm] x also
> strebt das ganze gegen [mm]-\infty[/mm]
>
> 2.Fall: (a,b<0)
> Es gilt [mm](x-a)(x-b)>x^2 =>\wurzel{(x-a)(x-b)}>[/mm] x also
> strebt die Fkt gegen [mm]\infty[/mm]
>
> 3.Fall: (a,b=0)
> Es gilt [mm](x-a)(x-b)=x^2 =>\wurzel{(x-a)(x-b)}=[/mm] x also
> strebt die Fkt gegen 0
>
> 4.Fall: (a<0, [mm]b\ge[/mm] 0)
> Hier wieder unterteilen:
> 4.1.Fall: |a|>|b|
> Dann gilt [mm](x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab[/mm] und -(a+b)x >0 und
> damit [mm](x-a)(x-b)>x^2[/mm] => [mm]\wurzel{(x-a)(x-b)}>[/mm] x also strebt
> die Fkt gegen [mm]\infty[/mm]
> 4.2.Fall: |a|<|b|
> Dann gilt [mm](x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab[/mm] und -(a+b)x <0 und
> damit [mm](x-a)(x-b)
> die Fkt gegen [mm]-\infty[/mm]
>
> Aber auch hier: wie zeige ich das formell korrekt???
Die dringendere Frage scheint mir zu sein: wie findet man nicht "das", aber die richtige Antwort, auf einfacherem Wege? Vielleicht etwa so:
[mm]\lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{(x-a)(x-b)}-x
= \lim_{x\rightarrow \infty}x\cdot \sqrt{(1-\frac{a}{x})(1-\frac{b}{x})}-x = \lim_{x\rightarrow \infty}\left(x\cdot \Big(1-\frac{a+b}{2x}+o\big(\frac{1}{x}\big)\Big) -x\right)
= -\frac{a+b}{2}[/mm]
Hier habe ich allerdings verwendet, dass [mm]\sqrt{1-x} = 1-\frac{x}{2}+o(x)[/mm] für [mm]x\rightarrow 0[/mm] (Landausches klein-o). Ich bin entschieden nicht sicher, ob Du das so machen darfst.
>
> (4)
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1}\bruch{x^n-1}{x^m-1}[/mm] für [mm]n,m\in\IZ, n,m\not=[/mm]
> 0
> Dieser Grenzwert existiert nicht, da bei x=1 im Nenner
> [mm](1^m-1)=0[/mm] stehen würde und dies nicht möglich ist.
>
> Auch hier wieder: wie formal korrekt?
Am einfachsten wäre, hier die "Spitalregel" zu verwenden:
[mm]\limes_{x\rightarrow 1}\bruch{x^n-1}{x^m-1}
= \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{n\cdot x^{n-1}}{m\cdot x^{m-1}} = \frac{n\cdot 1^{n-1}}{m\cdot 1^{m-1}}=\frac{n}{m}[/mm]
Falls diese nicht zulässig sein sollte, muss man sich auf relativ umständliche Weise behelfen, etwa so:
1. Fall: [mm]m,n> 0[/mm]
Da [mm]1[/mm] eine Nullstelle sowohl von Zähler und Nenner ist kannst Du im Zähler und im Nenner den Faktor [mm](x-1)[/mm] zuerst abspalten und dann kürzen:
[mm]\limes_{x\rightarrow 1}\bruch{x^n-1}{x^m-1}
= \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{(x-1)\cdot (x^{n-1}+x^{n-2}+\cdot + x + 1)}{(x-1)\cdot (x^{m-1}+x^{m-2}+\cdots + x + 1)} = \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{x^{n-1}+x^{n-2}+\cdot + x + 1}{x^{m-1}+x^{m-2}+\cdots + x + 1} = \frac{n}{m}[/mm]
und dann gibt es leider noch weitere Fälle zu behandeln, da ja n oder m oder beide auch negativ sein können.
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