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| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a^x-1)/x [/mm] |
hallo,
also ich weiß nicht, wie ich das [mm] a^x [/mm] umstellen kann. es muss aber als ergebnis ln a herauskommen. leider fehlt mir da der erste schritt.
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 Mi 25.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Charly!
Ich nehme mal stark an, Du meinst den Grenzwert für [mm] $\red{x}\rightarrow\red{0}$ [/mm] ? Denn dazu passt Dein genanntes Ergebnis mit [mm] $\ln(a)$ [/mm] .
Für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$ entstünde hier der unbestimmte Ausdruck [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] .
Damit haben wir hier also einen klassischen Fall für den  Grenzwertsatz nach de l'Hospital. Bilde also in Zähler und Nenner getrennt für sich die Ableitung.
Gruß
Loddar
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hi loddar,
du hattest recht, limes x gegen 0, nicht unendlich.
wir hatten den satz noch nicht, also bräuchte ich noch mal deine hilfe.
ich habe jetzt:
[mm] f(x)=a^x-1 [/mm] ---> f'(x)=xa^(x-1)
g(x)=x ---> g'(x)=1
also hab ich jetzt folgendes:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} f(x)/g(x)=\limes_{x\rightarrow 0} [/mm] f'(x)/g'(x)= [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] xa^(x-1)/1
und wie muss ich nun weitermachen und ist das bis dahin überhaupt richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Mi 25.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo charly!
Der Term $-1_$ steht aber nicht mehr im Exponenten!
Damit lautet die Ableitung vom [mm] $a^x-1$ [/mm] :
[mm] $\left( \ a^x-1 \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] \left( \ e^{x*\ln(a)}-1 \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] \ln(a)*e^{x*\ln(a)}-0 [/mm] \ = \ [mm] \ln(a)*a^x$
[/mm]
Kommst Du damit nun weiter?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 Mi 25.01.2006 | | Autor: | charly1607 |
danke loddar,
ich habs jetzt kapiert. danke für deine hilfe.
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