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| Aufgabe | Gegeben seinen die Funktionen f: [mm] \IR^{2} \{(0,0)} [/mm] -> [mm] \IR [/mm] mit f(x,y) = [mm] \bruch{|sin(x^{2}-y) |}{x^{2} + y^{2}} [/mm] und [mm] \bruch{xy)}{x^{2} + y^{2}}.
[/mm]
Bestimmen Sie die Grenzwerte
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0 }(\limes_{y\rightarrow\ 0 }f(x,y)), \limes_{y\rightarrow\ 0 }(\limes_{x\rightarrow\ 0 }f(x,y)) [/mm] und [mm] \limes_{x,y\rightarrow\ 0,0 }f(x,y)), [/mm] sofern sie existieren - oder zeigen Sie, dass sie nicht existieren. |
Hallo,
ich hab das mit den Grenzwerten noch nicht so ganz richtig verstanden. Kannst du mit bitte sagen ob ich hier richtig gerechnet habe.
Zuerst [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0 }(\limes_{y\rightarrow\ 0 }\bruch{|sin(x^{2}-y) |}{x^{2} + y^{2}} )=\limes_{x\rightarrow\ 0 }(\limes_{y\rightarrow\ 0 }\bruch{|((x^{2}-y)- \bruch{1}{6}(x^{2}-y)^{3}+...)|}{x^{2} + y^{2}} )=\limes_{x\rightarrow\ 0 }(\bruch{|((x^{2})- \bruch{1}{6}(x^{2})^{3}+...)|}{x^{2}} [/mm] )=1 - hier bin ich mir recht sicher, dass das stimmt. Dann [mm] \limes_{y\rightarrow\ 0 }(\limes_{x\rightarrow\ 0 }\bruch{|sin(x^{2}-y) |}{x^{2} + y^{2}} )=\limes_{y\rightarrow\ 0 }(\limes_{x\rightarrow\ 0 }\bruch{|((x^{2}-y)- \bruch{1}{6}(x^{2}-y)^{3}+...)|}{x^{2} + y^{2}} )=\limes_{y\rightarrow\ 0 }(\bruch{|(-y)- \bruch{1}{6}(-y)^{3}+...)|}{x^{2} + y^{2}} [/mm] )= [mm] \infty.
[/mm]
Aber bei [mm] \limes_{x,y\rightarrow\ 0,0 }f(x,y)) [/mm] weiß ich dann nicht mehr recht wie man vorgeht. Kann ich hier x und y mit z substituieren und dann z gegen Null laufen lassen. In Büchern hab ich auch gesehen, dass die das mit Polarkoordinaten machen, aber da weis ich wegen dem Betrag und dem Sinus in der Funktion auch nicht wie man vorgeht. Kann ich schon aus den beiden Grenzwerten die Vorraussage machen, dass die Funktion keinen Grenzwert hat? Da die gegen zwei verschiedene Werte laufen?
Bei der zweiten Funktion [mm] \bruch{xy)}{x^{2} + y^{2}} [/mm] ist ja schon immer der erste Grenzwert Null [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0 }\bruch{xy)}{x^{2} + y^{2}} [/mm] und [mm] \limes_{y\rightarrow\ 0 }(\bruch{xy)}{x^{2} + y^{2}} [/mm] )), muss dann muss [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0 }0, \limes_{y\rightarrow\ 0 }0 [/mm] ja auch Null sein, oder???
Und und [mm] \limes_{x,y\rightarrow\ 0,0 }\bruch{xy)}{x^{2} + y^{2}}) [/mm] gibt wenn ich x und y mit z subtituiere und z gegen Null laufen lasse 0,5. Dass würde wieder heißen, dass es keinen Grenzwert gibt, oder???
Danke schon mal für die hilfe
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 23:51 Fr 13.01.2006 | | Autor: | kunzm |
Hallo,
Also bezüglich der ersten Funktion:
[mm] $f(x,y)=\frac{\left|\sin(x^2+y^2)\right|}{x^2+y^2}=\left|\frac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}\right|$
[/mm]
bekomme ich für beide Varianten den Grenzwert eins. Das scheint auch irgendwie einsichtig, wenn man betrachtet:
[mm] $y\rightarrow [/mm] 0$:
[mm] $\frac{x^2-\frac{1}{6}(x^2)^3+...}{x^2}=\frac{x^2-\frac{1}{6}x^5+...}{x^2}=1-\frac{1}{6}x^3+...$
[/mm]
und genauso für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$:
[mm] $\frac{y^2-\frac{1}{6}(y^2)^3+...}{y^2}=\frac{y^2-\frac{1}{6}y^5+...}{y^2}=1-\frac{1}{6}y^3+...$
[/mm]
Wenn man beide Variablen gleichzeitig gegen Null laufen lässt, sollte dann eben auch der Grenzwert eins herauskommen. Das gleiche gilt für die zweite Aufgabe, da ist der Grenzwert nur eben Null.
Das mit der Substitution ist bei der ersten Aufgabe auf jeden Fall nicht verkehrt wie man leicht nachrechnen kann, jedoch bei der zweiten auch schon ein bisschen aufwendig. Allgemein geht das Substituieren, allerdings ist immer Vorsicht geboten.
Grüße, Martin
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Hi, du hast dich da in meiner Aufgabenstellung verlesen. Die Funktion der Aufgabe lautet f(x,y) = [mm] \bruch{|sin(x^{2}-y) |}{x^{2} + y^{2}} [/mm] und nicht f(x,y) = [mm] \bruch{|sin(x^{2}-y^{2}) |}{x^{2} + y^{2}}. [/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:35 So 15.01.2006 | | Autor: | kunzm |
Entschuldige bitte,
das habe ich in der Tat nicht bemerkt. Dann sind Deine Ausführungen natürlich richtig. Der Grenzwert der ersten Aufgabe existiert dann nicht für [mm] $x,y\rightarrow [/mm] 0$!
Gruß, Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Michael!
> Gegeben seinen die Funktionen f: [mm]\IR^{2} \{(0,0)}[/mm] -> [mm]\IR[/mm]
> mit f(x,y) = [mm]\bruch{|sin(x^{2}-y) |}{x^{2} + y^{2}}[/mm] und
> [mm]\bruch{xy)}{x^{2} + y^{2}}.[/mm]
> Bestimmen Sie die Grenzwerte
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0 }(\limes_{y\rightarrow\ 0 }f(x,y)), \limes_{y\rightarrow\ 0 }(\limes_{x\rightarrow\ 0 }f(x,y))[/mm]
> und [mm]\limes_{x,y\rightarrow\ 0,0 }f(x,y)),[/mm] sofern sie
> existieren - oder zeigen Sie, dass sie nicht existieren.
> Zuerst [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0 }(\limes_{y\rightarrow\ 0 }\bruch{|sin(x^{2}-y) |}{x^{2} + y^{2}} )=\limes_{x\rightarrow\ 0 }(\limes_{y\rightarrow\ 0 }\bruch{|((x^{2}-y)- \bruch{1}{6}(x^{2}-y)^{3}+...)|}{x^{2} + y^{2}} )=\limes_{x\rightarrow\ 0 }(\bruch{|((x^{2})- \bruch{1}{6}(x^{2})^{3}+...)|}{x^{2}}[/mm]
> )=1 - hier bin ich mir recht sicher, dass das stimmt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ich empfinde es nur als etwas umständlich so mit mehrdimensionalem Taylor, obwohl es mathematisch sehr schön so ist. Man hätte aber auch sukzessive mit eindimensionalem Taylor oder de l'Hospital arbeiten können.
> Dann
> [mm]\limes_{y\rightarrow\ 0 }(\limes_{x\rightarrow\ 0 }\bruch{|sin(x^{2}-y) |}{x^{2} + y^{2}} )=\limes_{y\rightarrow\ 0 }(\limes_{x\rightarrow\ 0 }\bruch{|((x^{2}-y)- \bruch{1}{6}(x^{2}-y)^{3}+...)|}{x^{2} + y^{2}} )=\limes_{y\rightarrow\ 0 }(\bruch{|(-y)- \bruch{1}{6}(-y)^{3}+...)|}{x^{2} + y^{2}}[/mm]
> )= [mm]\infty.[/mm]
> Aber bei [mm]\limes_{x,y\rightarrow\ 0,0 }f(x,y))[/mm] weiß ich
> dann nicht mehr recht wie man vorgeht. Kann ich hier x und
> y mit z substituieren und dann z gegen Null laufen lassen.
> In Büchern hab ich auch gesehen, dass die das mit
> Polarkoordinaten machen, aber da weis ich wegen dem Betrag
> und dem Sinus in der Funktion auch nicht wie man vorgeht.
> Kann ich schon aus den beiden Grenzwerten die Vorraussage
> machen, dass die Funktion keinen Grenzwert hat? Da die
> gegen zwei verschiedene Werte laufen?
Ja, das hätte man so argumentieren können.
> Bei der zweiten Funktion [mm]\bruch{xy)}{x^{2} + y^{2}}[/mm] ist ja
> schon immer der erste Grenzwert Null [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0 }\bruch{xy)}{x^{2} + y^{2}}[/mm]
> und [mm]\limes_{y\rightarrow\ 0 }(\bruch{xy)}{x^{2} + y^{2}}[/mm]
> )), muss dann muss [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0 }0, \limes_{y\rightarrow\ 0 }0[/mm]
> ja auch Null sein, oder???
> Und und [mm]\limes_{x,y\rightarrow\ 0,0 }\bruch{xy)}{x^{2} + y^{2}})[/mm]
> gibt wenn ich x und y mit z subtituiere und z gegen Null
> laufen lasse 0,5. Dass würde wieder heißen, dass es keinen
> Grenzwert gibt, oder???
Liebe Grüße
Julius
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