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servuz ihr lieben leuts
in meinem schlauen buch steht ein weiterer Grenzwertbeweis den ich wieder nur in einem schritt nicht verstehe:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a_{k}}=\wurzel[n]{\limes_{k\rightarrow\infty}a_{k}} \forall n\in\IN
[/mm]
im ersten Fall wird untersucht was passiert wenn die Reihe gegen 0 konvergiert, alles klar!
falls aber die Reihe [mm] a_{k}\to [/mm] a>0
wird ein Beweis durch VI von [mm] \alpha^{n}-\beta^n=(\alpha-\beta)\summe_{j=0}^{n-1}\alpha^{n-1^-j}*\beta^{j}
[/mm]
für [mm] \alpha,\beta\in\IR, n\in\IN
[/mm]
verlangt! Wieso dies? Kann nicht einer von euch mich mit eurem genialen wissen inspirieren!
"Die Gründe des Logischen sind unlogisch." F. Nietzsche
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Grüße!
Hm, solche Dinge sind nicht so leicht zu beantworten, wenn man den Restbeweis nicht vor Augen hat... im Grunde geht nämlich aus dem hervor, wofür die Gleichung benötigt wird. Daher kann ich jetzt auch nur "ins Blaue schießen":
Du hast die Folge [mm] $(a_k)_{k \in \IN}$ [/mm] mit Grenzwert $a > 0$. Zu zeigen ist:
[mm] $\lim_{k \to \infty} \sqrt[n]{a_k} [/mm] = [mm] \sqrt[n]{\lim_{k \to \infty} a_k} [/mm] = [mm] \sqrt[n]{a}$
[/mm]
Wenn ich jetzt [mm] $\sqrt[n]{a_k}$ [/mm] mit [mm] $b_k$ [/mm] bezeichne, muß ich also zeigen, dass der Abstand zwischen [mm] $b_k$ [/mm] und [mm] $\sqrt[n]{a} [/mm] =: b$ beliebig klein wird.
Ich weiß aber schon, dass der Abstand zwischen [mm] $b_k^n [/mm] = [mm] a_k$ [/mm] und [mm] $b^n [/mm] = a$ beliebig klein wird.
Also muß ich irgendwie die Differenz [mm] $b_k [/mm] - b$ und die Differenz [mm] $b_k^n [/mm] - [mm] b^n$ [/mm] in Beziehung miteinander setzen - und genau das tut die Gleichung. 
Lars
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