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servuz ihr lieben leuts
ich habe in einem Buch zu einem geforderten Beweis [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} (c*a_{k}+d*b_{k})=
[/mm]
c* [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}a_{k}+d* \limes_{k\rightarrow\infty}b_{k}
[/mm]
k [mm] \in \IN a_{k} [/mm] bzw. [mm] b_{k} [/mm] sind natürlich konvergent in [mm] \IR_{n} [/mm] oder [mm] \IQ [/mm] die Lösung nicht verstanden hier steht
a:= [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}a_{k} [/mm] ; b:= [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}b_{k}
[/mm]
[mm] |a-a_{k} [/mm] | < [mm] \varepsilon/(2*|c [/mm] |)
Wo kommt die zwei her? und die Betragsstriche um c diese Gedankenverknotung hatte ich schon mal vielleicht kann mir ja jemand helfen den knoten zu lösen er ist bestimmt wieder gordisch!
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Hallo!
Also, der ganze Beweis steht hier leider nicht, daher kann man das nicht so genau sehen... aber es folgendes ist doch richtig:
Wenn [mm] $(a_k)_{k \in \IN}$ [/mm] eine konvergente Folge mit Grenzwert $a$ ist, dann gibt es zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein $n [mm] \in \IN$, [/mm] so dass gilt:
$|a - [mm] a_k| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $k [mm] \leg [/mm] n$.
So weit so gut. Jetzt soll aber die Konvergenz einer anderen Folge (die aus den beiden zusammengebastelt ist und noch ein $c$ enthält) gezeigt werden. Dazu nimmt sich das Buch bestimmt ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ her.
Jetzt soll die Voraussetzung der Konvergenz der Folge [mm] $(a_k)$ [/mm] benutzt werden, aber es ist zweckmässig, dafür eben nicht das schon vergebene [mm] $\varepsilon$ [/mm] zu nehmen, sondern ein anders [mm] $\varepsilon'$, [/mm] das natürlich auch positiv ist.
Und das Buch nimmt eben dafür [mm] $\frac{\varepsilon}{2|c|}$. [/mm] Das ist positiv (deshalb $|c|$!) und deshalb ist das erlaubt. Und am Ende wird es genau passend auf das ursprünglich gewählte [mm] $\varepsilon$ [/mm] hinauslaufen.
Also, der Merksatz an dieser Stelle lautet: wenn so etwas auftaucht, frag Dich nicht, warum der Autor das so macht - das kommt am Ende schon heraus. (Wenn man solche Beweise selbst aufschreibt, rechnet man auch erst durch, was man am Ende braucht und schreibt das dann quasi "rückwärts" auf). Frag Dich statt dessen lediglich: erfüllt das die Voraussetzungen? Geht das so? In diesem Fall ist [mm] $\frac{\varepsilon}{2|c|}$ [/mm] eine positive Zahl und daher kann der Autor das so machen. Fertig. 
Alles klar?
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:53 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Zange1980 |
ich habs kapiert danke dir! was nicht passt wird passend gemacht!!
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