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| Aufgabe | Beweisen Sie für eine Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] und ein a [mm] \in \IR [/mm] die folgende Aussage:
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} [/mm] f(x) = a [mm] \gdw \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0, so dass |f(x)-a| < [mm] \varepsilon \forall [/mm] x [mm] \in ]x_{0} [/mm] - [mm] \delta, x_{0} [/mm] + [mm] \delta[ \backslash \{x_{0}\} [/mm] |
Hallo!
Auch hier benötige ich wieder mal Hilfe. Ich denke mal, dass man hier wieder die zwei Beweisrichtungen beachten muss. Allerdings fehlt mir ein wenig die Idee, wie man anfängt.
Mir fällt schon auf, dass die rechte Seite sehr an die Stetigkeitsdefinition erinnert, aber das bringt mich noch nicht so sehr weiter.
Für [mm] "\Rightarrow" [/mm] habe ich bisher nur die Idee, dass man folgern kann, dass für jede Folge gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}) [/mm] = a und da also ein Grenzwert existiert gilt auch: |f(x)-a| < [mm] \varepsilon. [/mm] Aber da habe ich noch kein Delta im Spiel.
Für [mm] "\Leftarrow" [/mm] lässt sich dann durch |f(x)-a| < [mm] \varepsilon [/mm] folgern, dass der Limes gilt, aber ist das der Beweis?
Ich freue mich auf eure Vorschläge, bin nämlich ratlos. Danke schon jetzt!
Erdbeerrose
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> Beweisen Sie für eine Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] und ein a [mm]\in \IR[/mm]
> die folgende Aussage:
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}[/mm] f(x) = a [mm]\gdw \forall \varepsilon[/mm]
> > 0 [mm]\exists \delta[/mm] > 0, so dass |f(x)-a| < [mm]\varepsilon \forall[/mm]
> x [mm]\in ]x_{0}[/mm] - [mm]\delta, x_{0}[/mm] + [mm]\delta[ \backslash \{x_{0}\}[/mm]
> Mir fällt schon auf, dass die rechte Seite sehr an die
> Stetigkeitsdefinition erinnert,
Hallo,
ganz genau.
Das ist auch nicht so erstaunlich, denn der Grenzwert einer Funktion und die Stetigkeit haben ja viel miteinander zu tun,
und Du kannst Dich für den Beweis sicher inspierieren lassen durch den Beweis für
Folgenkrit. für Stetigkeit [mm] <==>\varepsilon [/mm] - [mm] \vardelta- [/mm] Krit.
> Für [mm]"\Rightarrow"[/mm] habe ich bisher nur die Idee, dass man
> folgern kann, dass für jede Folge gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})[/mm] = a und da also ein
> Grenzwert existiert gilt auch: |f(x)-a| < [mm]\varepsilon.[/mm] Aber
> da habe ich noch kein Delta im Spiel.
Nein, aber Du bist auf einem guten Weg.
Allerdings stimmt es nicht, daß das für jede Folge gilt, sondern nur für die Folgen [mm] x_n, [/mm] die gegen [mm] x_0 [/mm] konvergieren.
Es ist also ein weiterer Grenzwert im Spiel : [mm] \limes_{x_n \rightarrow x_0}.
[/mm]
Du könntest versuchen, den Beweis für diese Richtung per Widerspruch zu führen.
Auch für die Rückrichtung mußt Du den zweiten Grenzwert beachten.
Nimm Dir eine beliebige Folge, die gegen [mm] x_0 [/mm] konvergiert, und zeige, daß wenn die [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \vardelta-Aussage [/mm] gilt, [mm] f(x_n) [/mm] gegen a konvergiert.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 So 06.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
vll. noch kurz zu [mm] $\Rightarrow$:
[/mm]
Du hast doch dort zu zeigen:
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ mit den Aussagen
Aussage $A$: Für alle Folgen $( [mm] x_n )_{n \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $x_n \not=x_0$, $x_n \to x_0$ [/mm] gilt, dass [mm] $f(x_n) \to [/mm] a$
Aussage $B$: Für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $\delta [/mm] > 0$, so dass für alle $x$ mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$, [/mm] $x [mm] \not=x_0$ [/mm] folgt, dass auch $|f(x)-a| < [mm] \varepsilon$. [/mm]
D.h. wenn $A$, dann $B$, mit anderen Worten, zu zeigen ist:
Wenn für alle Folgen $( [mm] x_n )_{n \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $x_n \not=x_0$, $x_n \to x_0$ [/mm] gilt, dass [mm] $f(x_n) \to [/mm] a$, so folgt:
Für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $\delta [/mm] > 0$, so dass für alle $x$ mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$, [/mm] $x [mm] \not=x_0$ [/mm] folgt, dass auch $|f(x)-a| < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Hier kann man leicht einen Beweis durch Kontraposition führen (es ist $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ gleichwertig zu [mm] $(\mbox{nicht } [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\mbox{nicht } [/mm] A)$):
Also:
Es gelte $B$ nicht. Dann hast Du zu zeigen, dass dann $A$ nicht gilt:
Wenn $B$ nicht gilt, so gibt es ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, so dass für jedes [mm] $\delta [/mm] > 0$ ein [mm] $x=x_\delta$, [/mm] $x [mm] \not=x_0$ [/mm] derart existiert, dass zwar [mm] $|x_\delta-x_0| [/mm] < [mm] \delta$, [/mm] aber dennoch [mm] $|f(x_\delta)-a| \ge \varepsilon$. [/mm] Betrachte dann die Folge [mm] $\delta_n=\frac{1}{n}$ [/mm] und zeige, dass man so eine Folge $( [mm] x_n )_{n \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $x_n=x_{\delta_n}$ [/mm] konstruieren kann mit [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] und [mm] $f(x_n) \not\to [/mm] a$, was zur Folge hat, dass dann $A$ nicht gilt, m.a.W., dass dann [mm] $\mbox{nicht } [/mm] A$ gilt.
Bei der Richtung [mm] $\Leftarrow$ [/mm] kann man direkt argumentieren. Dort gilt nach Voraussetzung die Aussage $B$. Wenn nun $( [mm] x_n )_{n \in \IN}$ [/mm] (irgend)eine Folge ist mit [mm] $x_n \not=x_0$ [/mm] für alle n und [mm] $x_n \to x_0$, [/mm] so hast Du zu zeigen:
Ist [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest, so gibt es ein [mm] $N=N_\varepsilon$, [/mm] so dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ auch [mm] $|f(x_n)-a| \le \varepsilon$.
[/mm]
Wenn ich das in Worten (+Lückentext) ausdrücken darf:
Nach Voraussetzung $B$ gibt es zu dem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta>0$ [/mm] mit ... Weil [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] gilt, fallen ab einem $N$ dann alle [mm] $x_n$ [/mm] in die ???-Umgebung von ???, also gilt für die Bilder dieser [mm] $x_n$ [/mm] unter f...
Gruß,
Marcel
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Hallo ihr beiden!
Vielen Dank für die Antworten! Ich muss das nun erst einmal gründlich nachvollziehen und melde mich, sofern noch Fragen bleiben. 
Aber danke schon jetzt!
LG Erdbeerrose
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Hallo Marcel!
Leider komme ich doch noch nicht so richtig viel weiter... :-(
Im Prinzip verstehe ich deine Idee, aber ich weiß nun nicht, was mir die Betrachtung von [mm] \delta_{n}= \bruch{1}{n} [/mm] bringt. Diese Folge geht natürlich gegen 0. Aber wie kann ich das im Beweis unterbringen? Ich weiß ja nicht, was [mm] x_{0} [/mm] ist, bzw. was a ist.
Die andere Richtung ist mir allerdings sehr klar geworden, danke!
LG Christine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
also zeigen wir $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ durch Beweis der Kontraposition [mm] $\mbox{nicht }$ [/mm] B [mm] $\Rightarrow \mbox{ nicht }$ [/mm] A:
Sei also $B$ falsch. Dann gibt es ein festes [mm] $\varepsilon_0 [/mm] > 0$, so dass insbesondere zu jedem [mm] $\delta_n=\frac{1}{n}$ [/mm] (mindestens) ein [mm] $x=x_{\delta_n} \not= x_0$ [/mm] so existiert, dass zwar [mm] $|x_0-x_{\delta_n}| [/mm] < [mm] \delta_n=\frac{1}{n}$, [/mm] aber auch gleichzeitig [mm] $|f(x_{\delta_n})-a| \ge \varepsilon_0$.
[/mm]
Mit anderen Worten:
Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist mit der Menge
[mm] $M_n:=] x_0-\frac{1}{n}, x_0+\frac{1}{n} [/mm] [ [mm] \backslash \{x_0\}$ [/mm] dann die Menge
[mm] $X_n:=M_n \cap \{x \in \IR: |f(x)-a| \ge \varepsilon_0\}$
[/mm]
nicht leer, jedes [mm] $X_n$ [/mm] enthält also mindestens ein Element.
Aus jeder Menge [mm] $X_n$ [/mm] wählen wir dann genau ein Element heraus und nennen dieses Element [mm] $x_n$. [/mm] Nun betrachten wir die so konstruierte Folge $( [mm] x_n )_{n \in \IN}$:
[/mm]
Wegen [mm] $|x_n-x_0| [/mm] < [mm] \frac{1}{n}$ [/mm] (da [mm] $x_n \in X_n \subset M_n$, [/mm] also [mm] $x_n \in M_n$) [/mm] ist die Folge $( [mm] x_n )_{n \in \IN}$ [/mm] konvergent gegen [mm] $x_0$, [/mm] wobei zudem nach Definition von [mm] $M_n$ [/mm] insbesondere [mm] $x_n \not= x_0$ [/mm] für alle n gilt, also es gilt:
[mm] $x_n \not=x_0$ [/mm] für alle n sowie [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$. [/mm]
Wie sieht es mit $( [mm] f(x_n) )_{n \in \IN}$ [/mm] aus? Wir zeigen, dass $( [mm] f(x_n) )_{n \in \IN}$ [/mm] nicht gegen $a$ konvergieren kann:
Würde nämlich $( [mm] f(x_n) )_{n \in \IN}$ [/mm] gegen $a$ konvergieren, so gäbe es für JEDES [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N=N_\varepsilon$, [/mm] so dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ die Ungleichung [mm] $|f(x_n)-a| \le \varepsilon$ [/mm] gelten würde.
Für [mm] $\varepsilon':=\frac{\varepsilon_0}{2} [/mm] > 0$ gilt aber sogar für jedes n, dass [mm] $x_n \in X_n \subset \{x \in \IR: |f(x)-a| \ge \varepsilon_0\}$, [/mm] also [mm] $x_n \in \{x \in \IR: |f(x)-a| \ge \varepsilon_0\}$, [/mm] also
[mm] $|f(x_n)-a| \ge \varepsilon_0 [/mm] > [mm] \frac{\varepsilon_0}{2}=\varepsilon'$, [/mm] also kann nur [mm] $f(x_n) \not\to [/mm] a$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] richtig sein. Damit ist also auch die Aussage A falsch, was zu zeigen war.
Gruß,
Marcel
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Hi Marcel!
Wow, ich danke dir! Ich weiß nicht, wie lange ich noch gebraucht hätte, um das so schick hinzubekommen. Grandios und gut nachvollziehbar! Vielen, vielen Dank, das hat mich ein Stück weiter gebracht!
LG Erdbeerrose
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