Grenzwertbestimmung von Funkt. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, ich bereite mich zur Zeit auf mein Studium vor. Da mein Abitur etwas zurückliegt, muss ich mich intensiver vorbereiten.
Bisher bin ich noch auf keine großen Probleme gestoßen, da das Buch, mit dem ich arbeite vor den Übungsaufgaben konkrete Beispiele gibt.
Im Kapitel Grenzwertbestimmung von Funktionen bin ich jedoch auf ein paar Problemchen gestoßen, die mir zu schaffen machen. Wäre erfreut über Hilfestellung. Das Buch gibt dazu dummerweise keine Hilfestellung.
1.
lim x -> 1 von [mm] (x^3-3x+2)/(x^4-4x+3)
[/mm]
Das Problem liegt hierin, dass ich selbst durch Partialbruchzerlegung das 0/0 nicht aus dem Term herausbekomme.
2.
lim x -> 0 von [mm] [(x^2+1)^{1/2}-(x+1)^{1/2}]/[(1)-(x+1)^{1/2}]
[/mm]
Naja, ich habe verschiedene Ansätze probiert:
Da lim x -> 0 von (1+x)^(1/x) = e ist, kam ich auf
[mm] [e^{x^2/2}-e^{x/2}]/[1-e^{x/2}]
[/mm]
Leider nütze mir das nicht viel, da dies auch auf (1-1)/(1-1) bzw. 0/0 geführt hätte.
Da das Buch den Satz von L'Hospital noch nicht eingeführt hat, wäre ich dafür dankbar, mir den Lösungsweg ohne diesen aufzuzeigen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:27 Mi 31.08.2005 | | Autor: | Torsten83 |
"Vor den Kopf schlag"
Stimmt ja, ein Polynom besteht ja aus den Faktoren von jeweils x-n , n für Nullstelle.
Danke.
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Zum 2. noch unbeantworten Teil.
Ich habe jeweils den oben unteren Term des Bruchstrichs genommen, und ihn gleich null gesetzt.
Daher zum Beispiel oben: [mm] (x^2+1)^{1/2}=(x+1)^{1/2}
[/mm]
Darauf beidseitig quadriert, also folgte [mm] x^2+1=x+1 [/mm] sprich [mm] x^2-x=0
[/mm]
Also x(x-1)=0
Zur Grenzwertbestimmung nutze ich oben daraufhin x-1, unterm Bruchstrich 1.
Darauf folgte für x=0 der Grenzwert -1. Nachdem ich es mit Taschenrechner überprüfte, war der Grenzwert jedoch 1.
Man kann ja oben auch [mm] x-x^2=0 [/mm] nehmen, womit ich dann x(1-x)=0 hätte.
Dann wäre auch der richtige Grenzwert herausgekommen.
Frage jetzt. Beide ob [mm] x^2-x=0 [/mm] oder [mm] x-x^2=0 [/mm] ist ja beides richtig, jedoch entspricht das zweite nur dem Grenzwert. Wie kommt es zu diesem Fehler, und wie vermeide ich ihn?
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Hi, Torsten,
also dieses "Lösungsangebot" erscheint mir doch sehr zweifelhaft.
Ich will mal versuchen, Dir einen anderen Weg zu eröffnen - ohne L'Hospital, wie Du ja möchtest.
Also: f(x) = [mm] \bruch{\wurzel{x+1}-\wurzel{x^{2}+1}}{\wurzel{x+1}-1}
[/mm]
Wie Du siehst, hab' ich Zähler und Nenner schon mal mit (-1) multipliziert.
Jetzt mach' ich sowas Ähnliches wie eine Polynomdivision und kriege:
f(x) = 1 + [mm] \bruch{1 - \wurzel{x^{2}+1}}{\wurzel{x+1}-1}
[/mm]
Jetzt betrachte ich nur noch den "Restbruch:
g(x) = [mm] \bruch{1 - \wurzel{x^{2}+1}}{\wurzel{x+1}-1}
[/mm]
Nun mach' ich erst mal den Nenner rational,
indem ich mit [mm] {\wurzel{x+1}+1} [/mm] erweitere,
wobei ich anschließend den Nenner mit der 3. binom. Formel vereinfache:
g(x) = [mm] \bruch{(1 - \wurzel{x^{2}+1})(\wurzel{x+1}+1)}{x}
[/mm]
Nun erweitere ich nochmal und zwar mit (1 + [mm] \wurzel{x^{2}+1}),
[/mm]
vereinfache diesmal den Zähler mit der 3. binom. Formel:
g(x) = [mm] \bruch{(- x^{2})(\wurzel{x+1}+1)}{x(1 + \wurzel{x^{2}+1})}
[/mm]
ENDLICH!!! Jetzt kann man durch x kürzen:
g(x) = [mm] \bruch{(- x)(\wurzel{x+1}+1)}{1 + \wurzel{x^{2}+1}}
[/mm]
Und nun kann man problemlos x [mm] \to [/mm] 0 gehen lassen!
PS: Eine Garantie für Rechen- oder Umformungsfehler kann ich da natürlich nicht geben!
Aber ich vermute, dass die andere Aufgabe ganz analog funktioniert!
mfG!
Zwerglein
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Eigentlich hatte ich mit diesem Übungsbuch keine Probleme, bis auf dieses Kapitel...
Der Grenzwert für x=0 ist für
[mm] [(x^2+1)^{1/2}-1]/[(x^2+25)^{1/2}-5]
[/mm]
zu bestimmen. Dachte mir, eigentlich kein Problem.
Habe [mm] (x^2+1)^{1/2}=1 [/mm] gesetzt, also [mm] x^2+1=1, [/mm] also [mm] x^2=0, [/mm] also oben für Grenzwert 1.
Dann [mm] (x^2+25)^{1/2}=5 [/mm] gesetzt, also [mm] x^2+25=25, [/mm] also [mm] x^2=0, [/mm] also unten für Grenzwert 1.
Daher Grenzwert 1. Dummerweise scheint der Grenzwert aber eigentlich bei 5 zu liegen. Was habe ich hier falschgemacht?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Mi 31.08.2005 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
bei der Aufgabe kommt als Grenzwert für [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{(x^2+1)^\bruch{1}{2}-1}{(x^2+25)^\bruch{1}{2}-5} [/mm] wirklich 5 heraus. Ich zeige dir mal wie man es rechnet. Vielleicht siehst du dann was du falsch gemacht hast.
Was ich nicht verstehe ist, warum du die x-Werte gesucht hast für die der Klammerausdruck jeweils im Zähler 1 und im Nenner 5 wird.
Dann hättest du ja den Bruch wenn du dann diese x-Werte einsetzt [mm] \bruch{1-1}{5-5} [/mm] und das ergäbe [mm] \bruch{0}{0} [/mm] und das geht nicht, weil dieser Bruch nicht definiert ist.
Du musst einfach für die x-Werte die 0 einsetzen denn du möchtest ja wissen was passiert wenn der Graph sich an 0 annähert.
Wenn du das machst bekommst auch wieder genau diesen Bruch heraus, nämlich [mm] \bruch{0}{0}. [/mm] Deshalb gibt es eine kleine Regel für solche Brüche, nämlich die Regel von L´Hospital, die besagt wenn so ein Bruch vorkommt wie [mm] \bruch{0}{0} [/mm] oder [mm] \bruch{unendlich}{unendlich} [/mm] dann leite den Zähler und den Nenner ab und probiere es wieder aus den Grenzwert einzusetzen. Kommt wieder so ein Bruch heraus leite wieder beides ab usw. Man leitet also so lange ab bis ein vernünftiges Ergebnis bei rauskommt.
Deine Aufgabe:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{(x^2+1)^\bruch{1}{2}-1}{(x^2+25)^\bruch{1}{2}-5}
[/mm]
Zähler und Nenner abgeleitet:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{x(x^2+1)^\bruch{-1}{2}}{x(x^2+25)^\bruch{-1}{2}}
[/mm]
Nun die beiden x rauskürzen und weiter vereinfachen.
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{ \bruch{1}{ \wurzel{x^2+1}}}{ \bruch{1}{ \wurzel{x^2+25}}}
[/mm]
Nun weiter vereinfachen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{\wurzel{x^2+25}}{\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
So, nun sind wir eigentlich fertig. Wenn du jetzt für x = 0 einsetzt, dann bekommst du folgenden Bruch.
[mm] \bruch{5}{1}=5. [/mm] Dies ist dein Grenzwert.
Ich hoffe ich konnte dir bei der Aufgabe helfen.
Gruß,
clwoe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 Mi 31.08.2005 | | Autor: | Torsten83 |
Das eigentümliche an dem Übungsbuch ist, dass das Kapitel Differentialrechnung eigentlich nach dem Kapitel Grenzwertbestimmung kommt, und dass der Satz von L'Hospital noch nicht eingeführt worden ist.
Ich habe versucht, über Polynombruchzerlegung die Faktoren herauszufiltern, die 0/0 ergeben würden, sprich jeweils [mm] x^2, [/mm] da (x-0)(x-0) für x=0 ja Null ergibt. Daher würden nur 1/1 stehen bleiben, sprich 1 als Grenzwert.
Soweit hat es das Übungsbuch auch erklärt. Vielleicht sollte ich mich mal an die Herausgeber wenden...
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Hi, Torsten,
die geht noch leichter als die erste, da Du vorher nicht erst dividieren musst:
[mm] \bruch{\wurzel{x^{2}+1}-1}{\wurzel{x^{2}+25}-5}
[/mm]
= [mm] \bruch{(\wurzel{x^{2}+1}-1)(\wurzel{x^{2}+25}+5)}{x^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{x^{2}(\wurzel{x^{2}+25}+5)}{x^{2}*(\wurzel{x^{2}+1}+1)}
[/mm]
= [mm] \bruch{\wurzel{x^{2}+25}+5}{\wurzel{x^{2}+1}+1}
[/mm]
Für x gegen 0 geht der Zähler gegen 10, der Nenner gegen2, der Bruch also gegen 5.
mfG!
Zwerglein
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
Polynomdivision