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Grenzwertbestimmung von Folge: Tipp Lösungsweg
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:47 So 31.05.2015
Autor: WIM2

Aufgabe
lim [mm] \bruch{\wurzel{n^{5}+3}-\wurzel{n-3}}{\wurzel[5]{n^{5}+3}+n^{2}*\wurzel{n-3}} [/mm]


Hallo,

es wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte beim Lösungsweg. Mir reichen auch nur Hinweise, will hier niemanden Arbeit aufzwingen..
Ergebnis müsste 1 sein.
Habe es mit Binomischer Ergänzug versucht, ausklammern etc.
Sehe in diesem Fall aber einfach nicht den Lösungsweg(oder er ist wirklich sehr lang)..Habe mir eine simple Lösung erhofft.

Schönen Sonntag

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Grenzwertbestimmung von Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:29 So 31.05.2015
Autor: Ladon

Hi WIM2,

[willkommenmr]
Erst mal sollte der Grenzwert, wenn du hohe Zahlenwerte einsetzt gegen 0,5 laufen. ;-)
Hast du es mal mit Polynomdivision, die man noch aus der Schule kennen sollte, versucht?
Es ist nämlich
[mm] $$\bruch{\wurzel{n^{5}+3}-\wurzel{n-3}}{\wurzel{n^{5}+3}+n^{2}\cdot{}\wurzel{n-3}} =1-\frac{(n^2+1)\sqrt{n-3}}{\wurzel{n^{5}+3}+n^{2}\cdot{}\wurzel{n-3}}=1-\frac{n^2\sqrt{n-3}}{\wurzel{n^{5}+3}+n^{2}\cdot{}\wurzel{n-3}}-\frac{\sqrt{n-3}}{\wurzel{n^{5}+3}+n^{2}\cdot{}\wurzel{n-3}}$$ [/mm]
[mm] $$=1-\frac{n^2 \sqrt{n}\cdot \sqrt{1-\frac{3}{n}}}{n^2\sqrt{n}(\sqrt{1-\frac{3}{n^5}}+\sqrt{1- \frac{3}{n}})}-\frac{\sqrt{n}\sqrt{1-\frac{3}{n}}}{\sqrt{n}\sqrt{n^4+\frac{3}{n}}+n^2 \cdot \sqrt{n-3}}=1-\frac{\sqrt{1-\frac{3}{n}}}{\sqrt{1-\frac{3}{n^5}}+\sqrt{1- \frac{3}{n}}}-\frac{\sqrt{1-\frac{3}{n}}}{\sqrt{n^4+\frac{3}{n}}+n\sqrt{n} \cdot \sqrt{n-3}}=1-\frac{\sqrt{1-\frac{3}{n}}}{\sqrt{1-\frac{3}{n^5}}+\sqrt{1- \frac{3}{n}}}-\frac{\sqrt{1-\frac{3}{n}}}{n^2(\sqrt{1+\frac{3}{n^5}}+\sqrt{1-\frac{3}{n}})}$$ [/mm] und daher
[mm] $$\lim_{n\to\infty}\bruch{\wurzel{n^{5}+3}-\wurzel{n-3}}{\wurzel{n^{5}+3}+n^{2}\cdot{}\wurzel{n-3}}=\lim_{n\to \infty}1-\frac{\sqrt{1-\frac{3}{n}}}{\sqrt{1-\frac{3}{n^5}}+\sqrt{1- \frac{3}{n}}}-\frac{\sqrt{1-\frac{3}{n}}}{n^2(\sqrt{1+\frac{3}{n^5}}+\sqrt{1-\frac{3}{n}})}=1-\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}$$mit [/mm] entsprechenden Grenzwertsätzen.

MfG
Ladon

PS: Ich habe einfach mal angenommen, dass du [mm] $\lim_{n\to\infty}$ [/mm] meinst nicht [mm] $n\to [/mm] 0$ o.ä..
Bezug
                
Bezug
Grenzwertbestimmung von Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:24 So 31.05.2015
Autor: WIM2

Hallo,

ich habe mich leider bei der Eingabe geirrt, eine Wurzel war Wurzel 5 in der ursprünglichen Aufgabe. Sorry..
Bezug
                        
Bezug
Grenzwertbestimmung von Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:08 So 31.05.2015
Autor: Ladon

Wenigstens sieht man, was eine 5. Wurzel so alles bewirken kann. ;-)

VG
Ladon
Bezug
        
Bezug
Grenzwertbestimmung von Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:53 So 31.05.2015
Autor: rmix22

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Noch immer ist nicht angegeben, wogegen n streben soll!
Ich nehme also auch an, gegen Unendlich.

Division von  Zähler und Nenner durch die "höchste auftretende Potenz" von $n$, also durch $n^{\frac{5}{2}$ sollte das Problem lösen.
Du erhältst dann

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{1+\frac{3}{n^5}}-\sqrt{\frac{1}{n^4}-\frac{3}{n^5}}}{\wurzel[5]{\frac{1}{n^{20}}+\frac{3}{n^{25}}}+\sqrt{1-\frac{3}{n}}}$

woraus sich der Grenzwert 1 unmittelbar ablesen lässt.

Gruß RMix

Bezug
                
Bezug
Grenzwertbestimmung von Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:12 Mo 01.06.2015
Autor: WIM2

Danke für die Hilfe; ja, es geht gegen unendlich, wusste zu Beginn nicht wie man es einfügt.

@Ladon: Hilfe war nicht umsonst, die Antwort hat mir auch zusätzlich etwas beigebracht..

Gruß
Bezug
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