Grenzwertbestimmung Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:08 Mi 24.10.2012 | | Autor: | yace |
| Aufgabe | Sei [mm] x_{0} [/mm] = 1, [mm] x_{1} [/mm] = 2 und
[mm] x_{n+1} [/mm] := [mm] x_{n} [/mm] - [mm] \bruch{x_{n}^{2} -2}{x_{n} + x_{n-1}}
[/mm]
Bestimmen Sie die Grenzwerte dieser Folge unter Annahme ihrer Existenz. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe kein Idee was ich machen soll und wie ich anfangen muss. Ein kleiner Hinweis zum Afangen wäre super.
Grüße yace
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Mi 24.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]x_{0}[/mm] = 1, [mm]x_{1}[/mm] = 2 und
> [mm]x_{n+1}[/mm] := [mm]x_{n}[/mm] - [mm]\bruch{x_{n}^{2} -2}{x_{n} + x_{n-1}}[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Grenzwerte dieser Folge unter Annahme
> ihrer Existenz.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe kein Idee was ich machen soll und wie ich anfangen
> muss. Ein kleiner Hinweis zum Afangen wäre super.
> Grüße yace
Wenn [mm] (x_n) [/mm] gegen a konvergiert, so auch [mm] (x_{n+1}) [/mm] und [mm] (x_{n-1})
[/mm]
Hilft das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Mi 24.10.2012 | | Autor: | yace |
Nein, leider nicht. Vielleicht war meine Frage auch falsch vormuliert. Ich weiß nicht was ich bei der Grenzwertbestimmtung tun soll. Soll ich da sagen, gegen welche Zahl das Ergebnis strebt?
yace
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Mi 24.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo yace,
> Ich weiß nicht was ich bei der
> Grenzwertbestimmtung tun soll. Soll ich da sagen, gegen
> welche Zahl das Ergebnis die Folge strebt?
Ja. (Sicherlich natürlich mit Begründung.)
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Mi 24.10.2012 | | Autor: | yace |
Ok, soweit vielen Dank. Also sollte ich als erstes den Wert [mm] x_{0}=1 [/mm] probeweise einsetzen und anschließend [mm] x_{1}=2? [/mm] Mir ist klar viele 'dumme' Fragen, aber ich komme da einfach nicht weiter. Ich will es wenigstens verstehen..
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Hallo yace,
> Ok, soweit vielen Dank. Also sollte ich als erstes den Wert
> [mm]x_{0}=1[/mm] probeweise einsetzen und anschließend [mm]x_{1}=2?[/mm] Mir
> ist klar viele 'dumme' Fragen, aber ich komme da einfach
> nicht weiter. Ich will es wenigstens verstehen..
Ja, das solltest Du als erstes tun.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Mi 24.10.2012 | | Autor: | yace |
Für [mm] x_{0} [/mm] kann ich keine Berechnung anstellen, dafür bekomme ich bei:
[mm] x_{1} [/mm] = 2 auf [mm] 1\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = 3 auf [mm] 1\bruch{3}{5}
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = 4 auf [mm] \bruch{14}{7}
[/mm]
[mm] x_{4} [/mm] = 5 auf [mm] 2\bruch{4}{9}
[/mm]
Das einzige das ich jetzt feststelle ist, dass die Folge gegen keine Feste Zahl strebt. Meiner Ansicht nach wird sie immer größer, oder?
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Hallo yace,
> Für [mm]x_{0}[/mm] kann ich keine Berechnung anstellen, dafür
> bekomme ich bei:
> [mm]x_{1}[/mm] = 2 auf [mm]1\bruch{1}{3}[/mm]
Wenn Du die Anfangsbedingungen [mm]x_{0}=1, \ x_{1}=2[/mm] einsetzt,
dann ist das Ergebnis ein [mm]x_{2}[/mm] , hier: [mm]x_{2}=\bruch{4}{3}[/mm]
[mm]x_{2} := x_{1} - \bruch{x_{1}^{2} -2}{x_{1} + x_{0}} [/mm]
Mit diesem [mm]x_{2}[/mm] und dem gegebenem [mm]x_{1}[/mm]
errechnest gemäß der Formel das [mm]x_{3}[/mm]
[mm]x_{3} := x_{2} - \bruch{x_{2}^{2} -2}{x_{2} + x_{1}} [/mm]
Mit den Werten [mm]x_{2}[/mm] und [mm]x_{3}[/mm] errechnest
Du dann das [mm]x_{4}[/mm]. Das geht dann so weiter.
[mm]x_{4} := x_{3} - \bruch{x_{3}^{2} -2}{x_{3} + x_{2}} [/mm]
> [mm]x_{2}[/mm] = 3 auf [mm]1\bruch{3}{5}[/mm]
> [mm]x_{3}[/mm] = 4 auf [mm]\bruch{14}{7}[/mm]
> [mm]x_{4}[/mm] = 5 auf [mm]2\bruch{4}{9}[/mm]
>
> Das einzige das ich jetzt feststelle ist, dass die Folge
> gegen keine Feste Zahl strebt. Meiner Ansicht nach wird sie
> immer größer, oder?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Fr 26.10.2012 | | Autor: | yace |
Danke für das Aufführen meines Fehlers.
Jetzt habe ich feststellen können, dass für [mm] x_{2}=\bruch{4}{3} [/mm] für [mm] x_{3}=1,4 [/mm] für [mm] x_{4}=1,416 [/mm] und für [mm] x_{5}= [/mm] 1,4142 Also schließe ich daraus, dass die Folge gegen 1,414 strebt.
Jetzt nur noch eine Frage, gibt es eine Möglichkeit es kürzer zu schreiben, als für jedes neue x die gesamte Berechnung durchzuführen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Fr 26.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Wir haben:
$ [mm] x_{n+1} [/mm] $ := $ [mm] x_{n} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{x_{n}^{2} -2}{x_{n} + x_{n-1}} [/mm] $
Sei a der Grenzwert der Folge und a [mm] \ne [/mm] 0.
Mit meiner Antwort vom Mittwoch bekommst Du:
$a $ = $a $ - $ [mm] \bruch{a^{2} -2}{2a} [/mm] $
Also [mm] a^2=2.
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:05 Fr 26.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo,
> Also [mm]a^2=2.[/mm]
Nun bleibt noch zu entscheiden, ob bei den gegebenen Startwerten die Folge gegen [mm] a=\wurzel{2} [/mm] oder gegen [mm] a=-\wurzel{2} [/mm] strebt.
Du hattest da eine Vermutung, yace. Kannst Du sie begründen oder besser noch: beweisen?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Fr 26.10.2012 | | Autor: | yace |
Meine Vermutung wäre, dass $ [mm] a=\wurzel{2} [/mm] $ strebt, weil die Startwerte [mm] x_0 [/mm] und [mm] x_1 [/mm] beide positiv sind.
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Hallo nochmal,
> Meine Vermutung wäre, dass [mm]a=\wurzel{2}[/mm] strebt, weil die
> Startwerte [mm]x_0[/mm] und [mm]x_1[/mm] beide positiv sind.
Deine Vermutung ist zwar richtig, aber Du musst hier wohl zeigen, dass mit diesen Startwerten die Folge entweder nach unten beschränkt ist (z.B. untere Schranke 0 oder 1 oder irgendein Wert [mm] >-\wurzel{2}) [/mm] oder aber streng monoton wachsend ist, also [mm] a_{n+1}>a_n. [/mm] Dabei reicht es völlig aus, wenn es irgendein n gibt, ab dem das gilt, und sei das eine neunstellige Zahl. Oder noch größer...
Faktisch ist wohl der zweite Weg einfacher, und n ist gar nicht so groß, dass man sich fürchten müsste. 
Grüße
reverend
PS: Findest Du Startwerte, für die die Folge gegen [mm] -\wurzel{2} [/mm] strebt?
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