Grenzwertbestimmung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:43 Di 17.12.2013 | | Autor: | Haloelite |
Hallo, Ich habe eine Aufgabe einer alten Klausur berechnet und komme mit dem Ergebnis des Profs nicht klar. Die Aufgabe war:
[mm] (3^{\infty+1} [/mm] + [mm] (-1)^{\infty+1}) [/mm] / [mm] 3^\infty
[/mm]
Ich kam auf das Ergebnis [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = 3
Die Lösung sagen 3 + [mm] (-1)^1
[/mm]
Wie kommt die [mm] (-1)^1 [/mm] zustande, wenn am Ende da steht
3 + [mm] (\bruch{-1}{3})^ \infty *(-1)^1 [/mm] ?
Danke für die Hilfe und entschuldigt Unleserliches, ich bin neu hier.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo, Ich habe eine Aufgabe einer alten Klausur berechnet
> und komme mit dem Ergebnis des Profs nicht klar. Die
> Aufgabe war:
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> [mm](3^{\infty+1}[/mm] + [mm](-1)^{\infty+1})[/mm] / [mm]3^\infty[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich kann mir kaum vorstellen, daß das der Originalwortlaut der Aufgabe ist.
Poste mal die Originalaufgabe.
Falls es um [mm] \lim_{n\to\infty}\bruch{3^{n+1}+(-1)^{n+1}}{3^n} [/mm] geht, ist das Ergebnis 3 richtig.
LG Angela
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> Ich kam auf das Ergebnis [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] = 3
>
> Die Lösung sagen 3 + [mm](-1)^1[/mm]
>
> Wie kommt die [mm](-1)^1[/mm] zustande, wenn am Ende da steht
> 3 + [mm](\bruch{-1}{3})^ \infty *(-1)^1[/mm] ?
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> Danke für die Hilfe und entschuldigt Unleserliches, ich
> bin neu hier.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Mi 18.12.2013 | | Autor: | Haloelite |
Genau das war die Aufgabenstellung, ja.
Man sollte den Grenzwert der Folge bestimmen.
Daher habe ich für n unendlich eingesetzt und ausgerechnet.
Wenn 3 das richtige Ergebnis ist, frage ich mich, wie er auf 3+- 1 kam?
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Hallo,
> Genau das war die Aufgabenstellung, ja.
> Man sollte den Grenzwert der Folge bestimmen.
>
> Daher habe ich für n unendlich eingesetzt und
> ausgerechnet.
Und wie das?
Du würdest ja [mm]\frac{\infty}{\infty}[/mm] bekommen. Was soll das denn sein?
Das ist nicht ohne Grund ein undefinierter Ausdruck, das kann alles mögliche sein, hier 3 ...
> Wenn 3 das richtige Ergebnis ist, frage ich mich, wie er
> auf 3+- 1 kam?
Das solltest du deinen Prof fragen, und dich solltest du fragen, ob das "Einsetzen von Unendlich" ein geeigneter Weg ist, um Grenzwerte zu bestimmen.
Macht ihr das so in der VL und in den Übungen? Ich glaube kaum ...
Marius hat dir unten im Detail vorgerechnet, wie man das "schön" ausrechnet ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
Aber Marius hat doch auch nur den Term umgeformt und hinterher unendlich eingesetzt.
Wo ist da der unterschied zu meiner Vorgehensweise?
Grüße,
HaloElite
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:32 Mo 23.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Haloelite!
Zum einen hat Marius mit seiner Umformung erreicht, dass beim "Einsetzen" kein unbestimmter Ausdruck der Form [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm] entsteht.
Zum anderen muss man auch schon unterscheiden zwischen stumpfen "Einsetzen" (wo man dann auch noch z.B. [mm](-1)^{\infty}[/mm] hinschreibt) oder auch dem Begriff des Grenzwertes / Limes.
Gruß
Loddar
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Okay, danke.
Also erst umformen, danach einsetzen. :)
Frohe Weihnachten!
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Hallo Haloelite,
> Okay, danke.
> Also erst umformen, danach einsetzen. :)
Nein!
Erst umformen, nie einsetzen. Sondern Grenzwert bilden. Mit Einsetzen erreichst Du nichts, und ich kann nur hoffen, dass Dein Prof das nicht so angeschrieben hat wie Du im ersten Post zitiert hast.
Des Rätsels Lösung für [mm] \left(\bruch{-1}{3}\right)^{\blue{n+1}}*(-1)^1=\bruch{(-1)^{n+1}}{3^n} [/mm] ist einfach: Potenzrechnung.
> Frohe Weihnachten!
Gleichfalls.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 Mo 23.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Haloelite,
>
> > Okay, danke.
> > Also erst umformen, danach einsetzen. :)
>
> Nein!
> Erst umformen, nie einsetzen. Sondern Grenzwert bilden.
> Mit Einsetzen erreichst Du nichts, und ich kann nur hoffen,
> dass Dein Prof das nicht so angeschrieben hat wie Du im
> ersten Post zitiert hast.
>
> Des Rätsels Lösung für
> [mm]\left(\bruch{-1}{3}\right)^{\blue{n+1}}*(-1)^1=\bruch{(-1)^{n+1}}{3^n}[/mm]
> ist einfach: Potenzrechnung.
Hmmmm ....
auch wenn bald das Christkind kommt, aber
[mm] (\bruch{-1}{3})^{{n+1}}*(-1)^1=\bruch{(-1)^n}{3^{n+1}}
[/mm]
FRED
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> > Frohe Weihnachten!
>
> Gleichfalls.
>
> Grüße
> reverend
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Hallo,
generell ist umformen natürlich eine gute Idee. Ein weiteres gutes Beispiel dafür ist auch die Folge
[mm] a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}
[/mm]
Durch plumpes Einsetzen würde man [mm] \infty-\infty [/mm] erhalten. Doch was soll das sein?
Erst durch Umformen kommt man auf die Form:
[mm] a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}
[/mm]
Jetzt sieht man auch wirklich dass [mm] a_n\to{0} [/mm] für [mm] n\to\infty.
[/mm]
Frohes Fest!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Di 17.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo, Ich habe eine Aufgabe einer alten Klausur berechnet
> und komme mit dem Ergebnis des Profs nicht klar. Die
> Aufgabe war:
>
> [mm](3^{\infty+1}[/mm] + [mm](-1)^{\infty+1})[/mm] / [mm]3^\infty[/mm]
>
> Ich kam auf das Ergebnis [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] = 3
>
> Die Lösung sagen 3 + [mm](-1)^1[/mm]
>
> Wie kommt die [mm](-1)^1[/mm] zustande, wenn am Ende da steht
> 3 + [mm](\bruch{-1}{3})^ \infty *(-1)^1[/mm] ?
Wenn du, wie Angela vermutet hat, $ [mm] \lim_{n\to\infty}\bruch{3^{n+1}+(-1)^{n+1}}{3^n} [/mm] $ meinst, gilt
$ [mm] \lim_{n\to\infty}\bruch{3^{n+1}+(-1)^{n+1}}{3^n} [/mm] $
$ [mm] =\lim_{n\to\infty}\bruch{3^{n}\cdot\left(3+\frac{(-1)^{n+1}}{3^{n}}\right)}{3^n} [/mm] $
$ [mm] =\lim_{n\to\infty}\bruch{3+\frac{(-1)^{n+1}}{3^{n}}}{1} [/mm] $
$ [mm] =\lim_{n\to\infty}\left(3+\frac{(-1)^{n+1}}{3^{n}}\right) [/mm] $
$ [mm] =\lim_{n\to\infty}3+\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{3^{n}} [/mm] $
Nun kannst du [mm] n\to\infty [/mm] laufen lassen, und da [mm] (-1)^m [/mm] nur 1 oder -1 sein kann, ist der hintere Grenzwert 0.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:00 Mi 18.12.2013 | | Autor: | Haloelite |
Danke, also haben Professoren auch nicht immer Recht. :)
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