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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Fr 08.03.2013 | | Autor: | sandmann |
| Aufgabe | Untersuche die Folge auf Konvergenz und gib gegebenenfalls ihren Grenzwert an:
[mm] \sqrt{4n+3} [/mm] - [mm] 2\sqrt{n} [/mm] |
Hallo,
ich habe mir überlegt, dass der Grenzwert wohl 0 ist, allerdings gelingt es mir nicht das zu beweisen. Meine Überlegungen bisher:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt{4n+3} [/mm] - [mm] 2*\sqrt{n}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt{4n+3} [/mm] - [mm] \sqrt{4n}
[/mm]
Nun ist 4n+3 > 4n, jedoch geht mit wachsendem n das Verhältnis zwischen 4n+3 zu 4n gegen 1, sodass im Unendlichen zwei fast identische Zahlen subtrahiert werden, also ist das ganze 0.
Ich habe bereits versucht, die Folge nach oben und nach unten abzuschätzen, um das Sandwich-Theorem zu verwenden:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt{4n+3}-\sqrt{4n} \ge \sqrt{4n}-\sqrt{4n} [/mm] = 0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt{4n+3}-\sqrt{4n} \ge \sqrt{4n+3}-\sqrt{4n+3} [/mm] = 0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt{4n+3}-\sqrt{4n} \le \sqrt{4n+3n}-\sqrt{4n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt{7n}-\sqrt{4n} [/mm] = [mm] \sqrt{n}*(\sqrt{7}-\sqrt{4}) [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Was nicht sonderlich hilfreich ist.
Ansonsten könnte ich noch direkt versuchen, zu zeigen, dass für jedes [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] n_0 [/mm] existiert, sodass für alle n [mm] \ge n_0 [/mm] gilt
[mm] |\sqrt{4n+3}-\sqrt{4n} [/mm] - 0| < [mm] \epsilon
[/mm]
Ich möchte nun, dass n alleine auf einer Seite steht, allerdings lässt sich dieser Term schlecht umformen (oder ich weiß nicht wie), also habe ich es mit einer Ungleichungskette versucht:
[mm] |\sqrt{4n+3}-\sqrt{4n} [/mm] - 0| [mm] \le |\sqrt{4n+3n} [/mm] - [mm] \sqrt{4n}| [/mm] = [mm] |\sqrt{7n} [/mm] - [mm] \sqrt{4n} [/mm] | = [mm] \sqrt{n}*(\sqrt{7} [/mm] - [mm] \sqrt{4})
[/mm]
Wenn das kleiner als [mm] \epsilon [/mm] sein muss, dann darf n einen bestimmten Wert nicht überschreiten. Das hilft mir auch nicht weiter, um die Behauptung zu beweisen.
Für Tipps bin ich dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
gleich vorneweg: da bist du ziemlich auf dem Holzweg. Der Term führt so, wie er dasteht, auf den undefinierten Ausdruck [mm] \infty-\infty, [/mm] den man nicht auswerten kann.
Der übliche Weg ist der, dass man die Differenz von zwei Quadratwurzeln mit der Summe dieser beiden Wurzeln zu einem Bruch erweitert. Dadurch entsteht im Zähler ein 3. Binom, welches dir dann die entscheidende Vereinfachungsmöglichkeit liefert, um den erwähnten nicht definierten Ausdruck zu eliminieren.
Probiers doch mal und melde dich dann wieder.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Fr 08.03.2013 | | Autor: | sandmann |
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ich habe die Folge also umgeformt:
[mm] \sqrt{4n+3}-\sqrt{4n} [/mm] = [mm] \frac{(\sqrt{4n+3}-\sqrt{4n})(\sqrt{4n+3}+\sqrt{4n})}{(\sqrt{4n+3}+\sqrt{4n})} [/mm] = [mm] \frac{3}{\sqrt{4n+3}+\sqrt{4n}}
[/mm]
Jetzt erkennt man bereits dass es gegen 0 geht.
Das Konvergenzkriterium habe ich wie folgt angewandt:
Zu zeigen: Für alle [mm] \epsilon [/mm] > 0 existiert ein [mm] n_0, [/mm] sodass für alle [mm] n>n_0 [/mm] gilt:
[mm] |\frac{3}{\sqrt{4n+3}+\sqrt{4n}} [/mm] - 0| < [mm] \epsilon
[/mm]
also:
[mm] |\frac{3}{\sqrt{4n+3}+\sqrt{4n}}| \le \frac{3}{\sqrt{4n}+\sqrt{4n}} [/mm] = [mm] \frac{3}{2\sqrt{4n}} [/mm] = [mm] \frac{3}{4\sqrt{n}} [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
[mm] \gdw (\frac{3}{4\epsilon})^2 [/mm] < n
Also wählt man [mm] n_0 [/mm] > [mm] (\frac{3}{4\epsilon})^2 [/mm] damit das Konvergenzkriterium erfüllt ist.
Wenn mir noch kurz jemand bestätigen kann, dass mein Vorgehen so richtig ist, ist meine Frage beantwortet. Danke im Voraus.
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Hallo,
jetzt ist alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Meiner Ansicht nach braucht man das mit dem Konvergenzkriterium hier nicht, aber das wirst du besser wissen, wie das formell aussehen soll bei euch. Auf jeden Fall hast du da auch alles richtig gemacht.
Gruß, Diophant
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