Grenzwertbestimmung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 So 13.11.2011 | | Autor: | Biensche |
| Aufgabe | Entscheiden Sie,ob die nachstehenden Folgen für n [mm] \to \infty [/mm] konvergieren und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert (mit kurzer Begründung)
1) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] n^{p/q} [/mm] (p [mm] \in \IZ, [/mm] q [mm] \in \IN [/mm] )
2) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] n^p*q^n (p\in \IN, [/mm] |q|< 1) |
Hallo zusammen!
Ich steh wirklich auf dem Schlauch bei den beiden Aufgaben.
Bei er 2. habe ich mir folgendes überlegt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n^p*q^n [/mm] =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n^p [/mm] * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} q^n
[/mm]
Jetzt weiß ich aus der Vorlesung, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} q^n [/mm] = 0 ist und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n^p [/mm] = [mm] \infty.
[/mm]
Aber ich kann ja schlecht 0* [mm] \infty [/mm] rechnen, da es ja nicht definiert ist.
Wie muss ich denn hier vorgehen?
Zur 1:
Ich habe [mm] a_{n} [/mm] = [mm] n^{p/q} \gdw a_{n} =\wurzel[q]{n^p} [/mm] . Es gilt ja = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[q]{n} [/mm] = 1 ,oder? Aber ich weiß nicht, ob und v.a. wie ich damit weitermachen kann.
Vielen Dank für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Biensche,
> Entscheiden Sie,ob die nachstehenden Folgen für n [mm]\to \infty[/mm]
> konvergieren und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert (mit
> kurzer Begründung)
>
> 1) [mm]a_{n}[/mm] = [mm]n^{p/q}[/mm] (p [mm]\in \IZ,[/mm] q [mm]\in \IN[/mm] )
>
> 2) [mm]a_{n}[/mm] = [mm]n^p*q^n (p\in \IN,[/mm] |q|< 1)
>
> Ich steh wirklich auf dem Schlauch bei den beiden
> Aufgaben.
> Bei er 2. habe ich mir folgendes überlegt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}n^p*q^n[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n^p[/mm] *
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} q^n[/mm]
>
> Jetzt weiß ich aus der Vorlesung, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} q^n[/mm] = 0 ist und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n^p[/mm] = [mm]\infty.[/mm]
> Aber ich kann ja schlecht 0* [mm]\infty[/mm] rechnen, da es ja
> nicht definiert ist.
So ist es.
> Wie muss ich denn hier vorgehen?
Hier kannst Du die ![[]](/images/popup.gif) Regel von (de) l'Hospital anwenden.
Dazu musst Du allerdings etwas umformen. Es gibt zwei Möglichkeiten:
[mm] n^p*q^n=\bruch{n^p}{q^{-n}}=\bruch{q^n}{n^{-p}}
[/mm]
Welche von beiden Darstellungen Du verwendest, ist hier egal.
> Zur 1:
>
> Ich habe [mm]a_{n}[/mm] = [mm]n^{p/q} \gdw a_{n} =\wurzel[q]{n^p}[/mm] . Es
> gilt ja = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[q]{n}[/mm] = 1
> ,oder? Aber ich weiß nicht, ob und v.a. wie ich damit
> weitermachen kann.
Du wirst um eine Fallunterscheidung nicht herumkommen. Schau Dir dazu mal vier einfache Fälle an:
1) [mm] a_n=n^2;\quad [/mm] 2) [mm] a_n=n^{-2};\quad [/mm] 3) [mm] a_n=n^{\bruch{1}{2}};\quad [/mm] 4) [mm] a_n=n^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
Und bedenke schließlich noch, dass auch p=0 möglich ist (der einzige Spezialfall).
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:44 Mo 14.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Einige Bemerkungen zu Aufgabe 2).
1. Wenn die Regel von de l'Hospital schon dran war, so kann man diese natürlich einsetzen, wie das reverend vorgeschlagebn hat.
2. Wenn die die Regel von de l'Hospital schon dran war, dann waren auch sicher schon Konvergenzkriterien für Reihen dran, z.B. das Wurzelkriterium.
Mit diesem sieht man sofort, dass [mm] \sum n^pq^n [/mm] konv. , wenn |q|<1 ist. Somit ist [mm] (n^pq^n) [/mm] eine Nullfolge.
3. Dem Aufgabentyp entnehme ich allerdings, dass weder de l'Hospital noch das Wurzelkriterium schon behandelt wurden.
Dann ist die Aufgabe nicht einfach ! Und der Zusatz " mit kurzer Begründung" eine Unverschämtheit.
Daher, liebes Biensche, sage ich Dir, wo Du eine Lösung finden kannst:
H: Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1, § 21, Beispiel 7.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:14 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Biensche |
Danke für eure Hilfe.
Wie du richtig angenommen hast, FRED, hatten wir weder die eine Regel noch das andere Kriterium für Konvergenz in der Vorlesung ;)
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