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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 Do 26.03.2009 | | Autor: | JulianTa |
| Aufgabe | | Die Folge [mm] (a_n) [/mm] sei definiert durch [mm] a_0 [/mm] = [mm] \alpha [/mm] > 0 und [mm] a_{n+1}= \frac{a_n}{2+a_n}. [/mm] Man zeige, dass die Folge konvergiert und bestimme den Grenzwert. |
Hallo!
Diese Aufgabe war Teil einer Klausur. Zz., dass die Folge konvergiert ist nicht so schwer. Man zeigt leicht, dass sie duch 0 beschränkt und monoton fallend ist.
Wie aber bestimme ich den Grenzwert? Da hab ich gar keine Idee zu. Ich finde auch leider keine passenden Majoranten bzw. Minoranten.. Kann mir jemand einen Tipp geben?
Danke!
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Hi,
bedenke, dass [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=:a$
[/mm]
Hilft dir das schon?
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Do 26.03.2009 | | Autor: | JulianTa |
Leider hilft mir das nicht weiter... Ich finde einfach keinen Zugang. Natürlich ist mir klar, dass es egal ist, welches Glied ich gegen [mm] \infty [/mm] laufen lasse, aber ich komm einfach nicht auf die zündende Idee..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Do 26.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Dann zünden wir mal:
Du hast
(*) $ [mm] a_{n+1}= \frac{a_n}{2+a_n} [/mm] $
Sei a der Grenzwert der Folge [mm] (a_n)
[/mm]
Mit [mm] n\rightarrow\infty [/mm] folgt aus (*):
$ a= [mm] \frac{a}{2+a} [/mm] $,
Mult. man mit $2+a$ durch, so erhält man:
$a(a+1) = 0$, also $a=0$ oder $a=-1$
Da [mm] a_0 [/mm] > 0, sieht man induktiv, dass [mm] a_n [/mm] > 0 für jedes n. Somit ist $a [mm] \ge [/mm] 0$
Fazit: $a= 0$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 Do 26.03.2009 | | Autor: | JulianTa |
Lieben Dank, genau das hatte ich auch gerade... Leider kann ich in der Klausur nicht mal schnell ne Runde um den Block gehen um laufend auf die Lösung zu kommen. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:59 Do 26.03.2009 | | Autor: | JulianTa |
Vielleicht geht es ja so:
Nach dem Tipp oben gilt:
[mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{2+a_n} [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} a_n [/mm] =: a
[mm] \gdw \frac{a}{2+a} [/mm] = a
[mm] \gdw [/mm] 0 = a + [mm] a^2
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] a = 0 [mm] \vee [/mm] a = -1
Da -1 nicht in Frage kommt, ist der Grenzwert a = 0
[mm] \Box
[/mm]
So richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 Do 26.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Ja, das habe ich Dir oben schon geschrieben
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 Do 26.03.2009 | | Autor: | JulianTa |
Ja das hatte ich erst nicht gesehen, weil ich so begeistert von meiner Lösung war 
Lieben Dank für die Mühe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 Do 26.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
irgendwas laeuft schief bei dir. Majoranten und Minoranten benutzt man nur bei Reihen, nicht bei Folgen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:17 Do 26.03.2009 | | Autor: | JulianTa |
Ja vielleicht hätte ich "Majoranten" bzw. "minoranten" schreiben sollen. Ich hab halt irgendwas gesucht, um das Sandwich-Theorem anwenden zu können.
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