Grenzwertbestimmung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Mo 07.01.2008 | | Autor: | mai |
Hallo Ihr Lieben!
Ich hab ein Problem beim Bestimmen
eines Grenzwertes für folgende
Aufgabenstellung:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(x)-x+\bruch{x^3}{6}}{x^5}
[/mm]
(LIMES X GEGEN NULL)
Wenn ich mithilfe von L'Hospital es lösen
will, komme ich dennoch zu keiner Lösung ->
[mm] \bruch{cos(x)-1+\bruch{x^2}{2}}{5x^4}
[/mm]
da der Nenner nicht Null werden darf -
wie kann ich sonst den Grenzwert
bestimmen?
Vielen Dank! Gruß, mai
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Hallo mai!
Du hast doch wiederum den Fall [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] . Wende auch nochmals (und evtl. dann nochmal  ) Herrn de l'Hospital an.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Mo 07.01.2008 | | Autor: | mai |
Achso, so hab ich das auch anfangs gelöst (Ergebnis [mm] \bruch{1}{120}), [/mm] darf man das so ohne weiteres?^^
Wie ist es denn, wenn man mit L'Hospital nie eine
Konstante im Nenner hat? zB.:
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} (cos(x))^\bruch{1}{x^2}
[/mm]
L'H [mm] \to (cos(x))^\bruch{1}{x^2} [/mm] * [mm] (\bruch{-2}{x^3}*ln(cos(x))+\bruch{1}{x^2}*-tan(x))
[/mm]
Und nun??? Vielen Dank für Eure Hilfe!
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Hallo mai,
> Achso, so hab ich das auch anfangs gelöst (Ergebnis
> [mm]\bruch{1}{120}),[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") darf man das so ohne weiteres?^^
Ja, wenn jeweils die Voraussetzungen für die Regel von de l'Hôpital erfüllt sind, kannst du sie auch anwenden
>
> Wie ist es denn, wenn man mit L'Hospital nie eine
> Konstante im Nenner hat? zB.:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0} (cos(x))^\bruch{1}{x^2}[/mm]
>
> L'H [mm]\to (cos(x))^\bruch{1}{x^2}[/mm] *
> [mm](\bruch{-2}{x^3}*ln(cos(x))+\bruch{1}{x^2}*-tan(x))[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Bei dem Ausdruck $\cos(x)^{\frac{1}{x^2}}$ hast du ja nicht die Form $\frac{f(x)}{g(x)}$ vorliegen, also musst du das erstmal umschreiben:
Def. allg. Potenz: $a^b=e^{b\cdot{}\ln(a)$
Also hier $\cos(x)^{\frac{1}{x^2}}=e^{\frac{1}{x^2}\cdot{}\ln(\cos(x))}$
Nun schaue dir den Exponenten an: $\frac{\ln(\cos(x))}{x^2}\rightarrow \frac{0}{0}$ für $x\to 0$
Also sind die Vor. für de l'Hôpital erfüllt:
$\frac{\left[\ln(\cos(x))\right]'}{\left[x^2\right]'}=\frac{\sin(x)}{2x\cdot{}\cos(x)}$
Das strebt wiederum für $x\to 0$ gegen den unbestimmten Ausdruck $\frac{0}{0}$
Also nochmal mit de l'Hôpital draufhauen....
Am Ende noch $e^{(...)}$ nicht vergessen
Gruß
schachuzipus
>
> Und nun??? Vielen Dank für Eure Hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:14 Di 08.01.2008 | | Autor: | mai |
Soweit so gut (danke... ), aber wenn die Aufgabenstellung lautet:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{x})^x
[/mm]
Wie kann ich hier die Form [mm] \frac{f(x)}{g(x)} [/mm] erreichen?
Ansatz: [mm] (1+\bruch{1}{x})^x \hat= e^{x*ln(1+\bruch{1}{x})}
[/mm]
Oder brauche ich hier kein L'H anwenden (stattdessen
den Term [mm] \bruch{1}{x} [/mm] betrachten und sagen, der Term
konvergiert für [mm] x\rightarrow\infty [/mm] gegen Null, folglich Ergebnis [mm] 1^{\infty} [/mm] = 1??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 Di 08.01.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo mai,
Deine Argumentation funktioniert in diesem Falle nicht, denn mit x gegen Unendlich steigt auch die Potenz des Ausdrucks an. Man kann hier durch Teilsummen zeigen, dass der Grenzwert zwischen 2 und 3 liegen muss (das ist im wahrsten Sinne des Wortes eine recht verschachtelte Angelegenheit) und dass das Ergebnis eine irrationale Zahl sein muss (durch indirekten Beweis).
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo mai!
Forme mal weiter um:
[mm] $$x*\ln\left(1+\bruch{1}{x}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\ln\left(1+\bruch{1}{x}\right)}{\bruch{1}{x}}\ [/mm] = \ [mm] \bruch{\ln(x+1)-\ln(x)}{\bruch{1}{x}}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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