Grenzwertbestimmung < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Mo 27.11.2006 | | Autor: | Andi1984 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{n}{(1-\bruch{x}{n})^n * e^\bruch{x}{2} dx}
[/mm]
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Hi,
also grundsätzlich kann man ja sagen, dass (1 - [mm] \bruch{x}{n}) [/mm] für n gegen unendlich, gegen 1 konvergiert und das dann hoch n [mm] \rightarrow \infty [/mm] geht ja dann auch gegen 1. Somit konvergiert der Integralterm meiner Meinung nach gegen [mm] e^\bruch{x}{2} [/mm] und das Integral darüber meiner Meinung gegen [mm] \infty.
[/mm]
Bin mir aber erstens nicht sicher ob es so stimmt und 2. wie ich das nun formal korrekt beweisen könnte.
Kann mir da wer weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 Mo 27.11.2006 | | Autor: | Janyary |
hi andi,
gleich vorab, ich weiss nicht genau wie das mit dem limes und dem integral war und bin mir deshalb nicht sicher, ob meine idee so korrekt ist. ich wuerde jetzt zuerst den limes des integranden berechnen, dann das integral in den grenzen berechnen und dann nochmal den limes davon nehmen.
also:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{n}{(1-\bruch{x}{n})^{n}e^{\bruch{x}{2}} dx}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{n}{e^{-x}*e^{\bruch{x}{2}}dx}, [/mm] denn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{x}{n})^{n}=e^{-x}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{n}{e^{\bruch{-x}{2}}dx}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}-2e^{\bruch{-n}{2}}+2e^{0}
[/mm]
=2
oki das sind also so meine ideen. aber wie gesagt, ka obs stimmt.
LG Jany
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