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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Timowob |
Bestimmen Sie nachvollziehbar den Grenzwert der Folge x = [mm] x_k [/mm] mit
[mm] x_k [/mm] := k * [mm] ln(1+\bruch{1}{k})
[/mm]
indem Sie [mm] x_k [/mm] als Differenzialquotient der Funktion f(x) := ln x in [mm] x_0 [/mm] := 1 deuten.
Ich habe die Aufgabe wie folgt gelöst:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{k} [/mm] = 0
also: k * ln(1+0)
Einschub: ln(1) = 0
daraus folgt k*0 = 0
Ich verstehe den Hinweis "indem Sie [mm] x_k [/mm] als Differenzialquotient der Funktion f(x) := ln x in [mm] x_0 [/mm] := 1 deuten." nicht. Ist meine Lösung falsch?
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Hallo,
> Bestimmen Sie nachvollziehbar den Grenzwert der Folge x =
> [mm]x_k[/mm] mit
>
> [mm]x_k[/mm] := k * [mm]ln(1+\bruch{1}{k})[/mm]
>
> indem Sie [mm]x_k[/mm] als Differenzialquotient der Funktion f(x) :=
> ln x in [mm]x_0[/mm] := 1 deuten.
> Ich habe die Aufgabe wie folgt gelöst:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{k}[/mm] = 0
>
> also: k * ln(1+0)
>
> Einschub: ln(1) = 0
>
> daraus folgt k*0 = 0
>
> Ich verstehe den Hinweis "indem Sie [mm]x_k[/mm] als
> Differenzialquotient der Funktion f(x) := ln x in [mm]x_0[/mm] := 1
> deuten." nicht. Ist meine Lösung falsch?
>
ja, du kannst so nicht schließen. So wie es dasteht, ist das falsch, da
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}k=\infty. [/mm]
Schreibe dir doch mal den Differenzialquotient von ln(x) an der Stelle 1 auf!
Tipp:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{k})=1
[/mm]
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Timowob |
Der Differenzialquotient ist ja
f(x) = ln(x)
f'(x)= [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
also, wegen [mm] x_0 [/mm] = 1 ist f'(x) = 1
Aber was soll ich damit anfangen?
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Hallo,
> Der Differenzialquotient ist ja
>
> f(x) = ln(x)
> f'(x)= [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> also, wegen [mm]x_0[/mm] = 1 ist f'(x) = 1
>
> Aber was soll ich damit anfangen?
nein, das ist er nicht! Der Differenzialqoutient ist ein Grenzwert, den man auch als Ableitung bezeichnen kann. Hier ist er:
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=f'(x_{0})
[/mm]
Das bedeutet in deinem Beispiel:
[mm] \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{ln(x)-ln(1)}{x-1}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow 1}\bruch{ln(x)}{x-1}
[/mm]
Und jetzt beachte [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{x})=1 [/mm] !
Kommst du nun alleine weiter...?
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Timowob |
Hallo Daniel,
wie kommst Du denn auf [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}1+\bruch{1}{x}=1 [/mm] ?
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> Hallo Daniel,
>
> wie kommst Du denn auf
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}1+\bruch{1}{x}=1[/mm] ?
>
>
Das ist doch zielich offensichtlich, oder?
Also, pass auf! Damit bringst du lediglich deinen Grenzwert in die Form, die du brauchst. Es gilt sicherlich:
[mm] \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{ln(x)}{x-1}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{ln(1+1/x)}{1/x+1-1}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}x*ln(1+1/x)
[/mm]
Und damit ist gezeigt, dass das dasselbe ist! Nun brauchst du nur noch diesen Grenzwert zu berechnen:
[mm] \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{ln(x)}{x-1}.
[/mm]
Das geht ziemlich einfach mit den Regeln von de l'Hospital, weil du einen Ausdruck der Form "0/0" hast:
[mm] \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{ln(x)}{x-1}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{(ln(x))'}{(x-1)'}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{1}{x}
[/mm]
=1
Und damit bist du fertig!
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Timowob |
Hallo Daniel,
ich kann das nicht nachvollziehen :-(
Warum setzt du bei [mm] \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{ln(x)}{x-1} [/mm] für x=1+1/x ein?
Viele Grüße
Timo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Was bedeutet denn
[mm] $\lim\limits_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1}$ [/mm] ?
Dies ist der Grenzwert für jede Folge [mm] $(x_k)_{k \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $\lim\limits_{k \to \infty} x_k=1$. [/mm] Insbesondere kann ich auch die Folge
[mm] $x_k [/mm] = 1 + [mm] \frac{1}{k}$
[/mm]
wählen, denn die konvergiert ja auch gegen $1$.
Dann hat man also:
[mm] $\lim\limits_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} [/mm] = [mm] \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\ln(x_k)}{x_k-1} [/mm] = [mm] \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\ln\left(1 + \frac{1}{k} \right)}{\frac{1}{k}} [/mm] = [mm] \lim\limits_{k \to \infty} [/mm] k [mm] \cdot \ln \left( 1 + \frac{1}{k}\right)$.
[/mm]
Übrigens braucht man zum Ausrechnen des Differentialquotienten sicherlich nicht de l'Hospital, wenn man die Ableitung doch kennt. 
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan,
> Hallo!
>
> Was bedeutet denn
>
> [mm]\lim\limits_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1}[/mm].
>
> Dies ist der Grenzwert für jede Folge [mm](x_k)_{k \in \IN}[/mm] mit
> [mm]\lim\limits_{k \to \infty} x_k=1[/mm]. Insbesondere kann ich
> auch die Folge
>
> [mm]x_k = 1 + \frac{1}{k}[/mm]
>
> wählen, denn die konvergiert ja auch gegen [mm]1[/mm].
>
> Dann hat man also:
>
> [mm]\lim\limits_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\ln(x_k)}{x_k-1} = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\ln\left(1 + \frac{1}{k} \right)}{\frac{1}{k}} = \lim\limits_{k \to \infty} k \cdot \ln \left( 1 + \frac{1}{k}\right)[/mm].
>
> Übrigens braucht man zum Ausrechnen des
> Differentialquotienten sicherlich nicht de l'Hospital, wenn
> man die Ableitung doch kennt.
Ja, klar! Da hab ich's wieder komplizierter gemacht, als es ist!![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Viele Grüße
Daniel
>
> Liebe Grüße
> Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Timowob |
Hallo Daniel,
hallo Stefan,
herzlichen Dank für Eure Hilfe. Ich bewundere immer wieder, wie hilfsbereit die Mitglieder in diesem Forum sind. Aber ich möchte Euch nicht überstrapazieren. Ich verstehe irgendwie die ganze Frage nicht und wohl entsprechend auch nicht die Antwort.
Darum vielen Dank für die viele Mühe und ich bin mir sicher, daß ich Euch noch mit der einen oder anderen Frage bombadieren werde 
Vielen Dank und liebe Grüße
Timo
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Hallochen,
also ich versuche es noch mal.
Du hast eine Folge gegeben und sollst deren Grenzwert bestimmen. Soweit ist das, denke ich, klar. Nun hast du noch den Tipp, es mit dem Wert des Differenzialquotienten an dieser Stelle zu versuchen. Dieser ist 1, das ist klar. Was ich nun gemacht habe:
Ich habe den Differenzenquotienten an dieser Stelle aufgeschrieben und gezeigt, das er deiner Folge entspricht, und zwar mit einer Folge, die genau das tut, was sie soll, nämlich gegen 1 zu konvergieren. Du schickst den Differenzenquotienten ja gegen 1, bzw. berechnest die Ableitung an der Stelle 1! Also nehmen wir eine Folge [mm] x_{k}, [/mm] die gegen 1 konvergiert und das tut [mm] x_{k}=1+\bruch{1}{k} [/mm] ganz sicher!
Jetzt verstanden? Ansonsten weiß ich auch nicht weiter.
Viele Grüße
Daniel
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