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Grenzwertbestimmung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:57 Fr 06.02.2015
Autor: strawberryjaim

Aufgabe 1
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (x^{2}-10x+5) [/mm]


Aufgabe 2
[mm] \limes_{x\rightarrow 1} (x^{2}+\bruch{1}{2x}) [/mm]


Aufgabe 3
[mm] \limes_{x\rightarrow 4-} \bruch{x+2}{x^{2}-16} [/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 4+} \bruch{x+2}{x^{2}-16} [/mm]


Wie löse ich Aufgabe 1?

Bei Aufgabe 2 habe ich [mm] \bruch{3}{2} [/mm] raus, da 1 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

Bei Aufgabe 3 bin ich mir nicht sicher, wie ich vorgehen soll.. Mir ist klar, dass mit 4+ die Zahlen aus dem positiven Richtung 4 gemeint sind. Soll ich dann 5 einsetzen?

        
Bezug
Grenzwertbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:06 Fr 06.02.2015
Autor: DieAcht

Hallo strawberryjaim !


> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (x^{2}-10x+5)[/mm]  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\1} (x^{2}+\bruch{1}{2x})[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow\4-} \bruch{x+2}{x^{2}-16}[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow\4+} \bruch{x+2}{x^{2}-16}[/mm]
> Wie löse ich Aufgabe 1?

Die Funktion ist doch offensichtlich streng monoton wachsend.

> Bei Aufgabe 2 habe ich [mm]\bruch{3}{2}[/mm] raus, da 1 +[mm]\bruch{1}{2}[/mm]

Passt.

> Bei Aufgabe 3 bin ich mir nicht sicher, wie ich vorgehen
> soll.. Mir ist klar, dass mit 4+ die Zahlen aus dem
> positiven Richtung 4 gemeint sind.

Ja.

> Soll ich dann 5 einsetzen?

Nein. Es gilt:

      [mm] \bruch{x+2}{x^{2}-16}=\frac{x+2}{(x-4)(x+4)}. [/mm]

Das hatten wir doch schon oft heute! Jetzt überlege erneut.


Gruß
DieAcht

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Bezug
Grenzwertbestimmung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:17 Fr 06.02.2015
Autor: strawberryjaim

Zur letzten Aufgabe:

Also würde dann der Nenner gegen -1 konvergieren und der Zähler gegen 4 für x [mm] \to [/mm] 4-

für x [mm] \to [/mm] 4+ würde der Nenner gegen ? konvergieren und der Zähler gegen 6?

Mhhh.. die guten binomischen Formeln :/

Bezug
                        
Bezug
Grenzwertbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:31 Fr 06.02.2015
Autor: chrisno


> Zur letzten Aufgabe:
>
> Also würde dann der Nenner gegen -1 konvergieren

??? Vielleicht machst Du besser mal eine Pause.

> und der Zähler gegen 4 für x [mm]\to[/mm] 4-

??? Vielleicht machst Du besser mal eine Pause.

>  
> für x [mm]\to[/mm] 4+ würde der Nenner gegen ? konvergieren

Was ist nun ?? Nimm den Taschenrechner und probier ein mal
Für  x [mm]\to[/mm] 4+ für x einsetzen: 4,1  4,01 4,001 ....
Für  x [mm]\to[/mm] 4- für x einsetzen: 3,9  3,99 3,999 ....
Dann bekommst Du eine Idee, was los ist. Mit dieser Idee formulierst Du eine mathematische Aussage und beweist sie dann.

> und der Zähler gegen 6?

ein Trefer aus vier, das ist nicht gut.

>  
> Mhhh.. die guten binomischen Formeln :/

Die sind hier nur am Rand das Problem.

Bezug
                                
Bezug
Grenzwertbestimmung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:22 Sa 07.02.2015
Autor: strawberryjaim

Also würde der Zähler x+2 gegen 6 konvergieren, in beiden Fällen?

Der Nenner allerdings für 4- gegen 0-. Wenn man dann in die Tabelle für Grenzwerte guckt, ergibt sich der Grenzwert [mm] -\infty. [/mm]
Bei 4+ wäre der Grenzwert für den Nenner 0+, wodurch sich aus der Tabelle [mm] \infty [/mm] ergibt.

Korrekt? :)

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwertbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:34 Sa 07.02.2015
Autor: abakus


> Also würde der Zähler x+2 gegen 6 konvergieren, in beiden
> Fällen?

>

> Der Nenner allerdings für 4- gegen 0-. Wenn man dann in
> die Tabelle für Grenzwerte guckt, ergibt sich der
> Grenzwert [mm]-\infty.[/mm]
> Bei 4+ wäre der Grenzwert für den Nenner 0+, wodurch sich
> aus der Tabelle [mm]\infty[/mm] ergibt.

>

> Korrekt? :)

Und was passiert mit eeinem Bruch, in dem der Zahler relativ konstant ist und der Nenner gegen unendlich läuft?

Die Aufgabe hättest du auch anders angehen können:
[mm] $\bruch{x+2}{x^{2}-16}=\bruch{x^2(\bruch{1}{x}+\bruch{2}{x^2})}{x^{2}(1-\bruch{16}{x^2})}$, [/mm] jetzt x² kürzen. Bei der Grenzwertbildung geht mit Ausnahme des Summanden 1 in Nenner alles andere in Richtung Null.

Bezug
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