Grenzwertberechnung für n < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Sa 01.11.2008 | | Autor: | nerd1 |
| Aufgabe | lim wurzel(n²+n) - wurzel (n²+1)
n-> oo |
Dass der Term gegen 1/2 läuft ergibt sich durch Annäherung mit großen Zahlen, allerdings brauche ich einen Beweis mit n gegen oo.
Könnte mir jmd anhand einer Umformung oder allgemeinen Berechnung für n -> oo einen Tipp geben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Der Trick bei solchen Ausdrücken ist immer die dritte binomische Formel. Schreibe den Ausdruck als Bruch mit Nenner 1 und erweitere entsprechend. Mit weiteren Umformungen kommst du schließlich zu
[mm]\sqrt{n^2 + n} - \sqrt{n^2 + 1} = \frac{1 - \frac{1}{n}}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + \sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}}[/mm]
Und am letzten Ausdruck kann man alles ablesen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Sa 01.11.2008 | | Autor: | nerd1 |
| Aufgabe | | Danke erstmal für die schnelle Antwort :) |
Problem :
Nach Umformung erhalte ich jedoch
(1-1/n) / ( n(1+1/n)-(1+1/n²) ?
Im oberen Term konnte ich nur n ausklammern da n² wegfällt durch n²-n²
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Hallo Marcus,
> Danke erstmal für die schnelle Antwort :)
> Problem :
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> Nach Umformung erhalte ich jedoch
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> (1-1/n) / ( n(1+1/n)-(1+1/n²) ?
du hast aber irgendwie die Wurzeln im Nenner unterschlagen:
[mm] $\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2+1}=\frac{(\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2+1})\cdot{}\blue{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2+1})}}{\blue{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2+1}}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{n^2+n-(n^2+1)}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2+1}}$
[/mm]
Nun unter den Wurzeln im Nenner jeweil [mm] n^2 [/mm] ausklammern und "rausziehen"
[mm] $=\frac{n-1}{\sqrt{n^2\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)}+\sqrt{n^2\cdot{}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{n-1}{n\cdot{}\sqrt{1+\frac{1}{n}}+n\cdot{}\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}$
[/mm]
Jetzt jeweil noch im Zähler und Nenner $n$ ausklammern und wegkürzen ...
>
>
> Im oberen Term konnte ich nur n ausklammern da n² wegfällt
> durch n²-n²
Ja, das ist ja auch ok so (für den Zähler) ...
LG
schachuzipus
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