Grenzwertberechnung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 Do 22.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Hallo, ich habe einen Term für den ich den Grenzwert für $n [mm] \to \infty$
[/mm]
[mm] $\sqrt[n]{7^n+5^n+3^n}$
[/mm]
Bei solchen Wurzelausdrücken habe ich grundsätzlich schwierigkeiten mit der Grenzwertberechnung. Ich hoffe mir kann jemand zeigen, wie man solche und ähnliche Terme zu behandeln hat.
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Hallo Duckx!
Klammere hier zunächst einmal den größten Einzelterm mit [mm] $7^n$ [/mm] aus.
Anschließend benötigst Du hier noch, dass gilt: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{a} [/mm] \ = \ 1$ (mit $a \ > \ 1$).
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Do 22.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Ok dann würde ich auf 7 kommen. Allerdings irritiert mich das ausklammern der [mm] $7^n$ [/mm] es ist doch so schon der wert unter der klammer >1 ?
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Hallo Duckx,
> Ok dann würde ich auf 7 kommen.
Das ist richtig.
> Allerdings irritiert mich
> das ausklammern der [mm]7^n[/mm] es ist doch so schon der wert unter
> der klammer >1 ?
Ja, und?
Schau Dir [mm] \wurzel[n]{1+\left(\bruch{5}{7}\right)^n+\left(\bruch{3}{7}\right)^n} [/mm] doch mal für größer werdendes n an.
Der Radikand wird immer kleiner und nähert sich der 1. Zusätzlich erhöht sich der Wurzelgrad, was die Annäherung der gesamten Wurzel an 1 noch beschleunigt. Schon bei n=30 beträgt die Abweichung nur noch wenig mehr als [mm] 10^{-6}.
[/mm]
Dass der Radikand immer größer als 1 ist, ist für die Grenzwertbetrachtung jedenfalls gar nicht erheblich. Die Frage ist doch immer: was passiert da, wenn n sehr groß wird?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Do 22.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Achso ok und wie mache ich das jetzt wieder z.B. bei:
[mm] $\sqrt[n]{n(n-1)}$?
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Achso ok und wie mache ich das jetzt wieder z.B. bei:
> [mm]\sqrt[n]{n(n-1)}[/mm]?
[mm] \wurzel[n]{n(n-1)}=\wurzel[n]{n}*\wurzel[n]{n-1}
[/mm]
Dann die Faktoren einzeln betrachten. Grenzwert für [mm] n\to\infty [/mm] ist 1.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Do 22.11.2012 | | Autor: | Duckx |
achso ok
dann habe ich noch etwas:
[mm] $\frac{\sqrt[3]{2n^4+n^3}+n+1}{n^2+1}$
[/mm]
[mm] $\frac{n^{4/3}\sqrt[3]{2+\frac{n^3}{n^4}}+n+1}{n^2+1}$
[/mm]
[mm] $\frac{n^{4/3}*2^{1/3}+n+1}{n^2+1}$
[/mm]
Ist das erst eimmal so richtig oder liege ich falsch?
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Hallo Duckx,
gebrochene Exponenten würde ich bei Grenzwertberechnungen eher vermeiden. Da wird es schnell unübersichtlich.
> achso ok
> dann habe ich noch etwas:
> [mm]\frac{\sqrt[3]{2n^4+n^3}+n+1}{n^2+1}[/mm]
>
> [mm]\frac{n^{4/3}\sqrt[3]{2+\frac{n^3}{n^4}}+n+1}{n^2+1}[/mm]
Geht so, aber siehe Vorbemerkung.
> [mm]\frac{n^{4/3}*2^{1/3}+n+1}{n^2+1}[/mm]
Wo ist das [mm] \tfrac{n^3}{n^4} [/mm] unter der Wurzel geblieben? Im Grenzprozess wirst Du es vernachlässigen können, hier aber noch nicht.
Ich würde aber sowieso anders vorgehen:
[mm] \bruch{\wurzel[3]{2n^4+n^3}+n+1}{n^2+1}=\bruch{n*\wurzel[3]{2n+1}+n+1}{n^2+1}=\bruch{\bruch{\wurzel[3]{2n+1}+1}{n}+\bruch{1}{n^2}}{1+\bruch{1}{n^2}}
[/mm]
Jetzt sieht man viel deutlicher, dass das Ganze gegen Null geht. Oder?
Grüße
reverend
> Ist das erst eimmal so richtig oder liege ich falsch?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Do 22.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Danke ja das müsste man sehen.Allerdings ist es für mich schwierig zu sehen, dass der wurzelterm gegen 0 geht.
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Hallo,
> Danke ja das müsste man sehen.Allerdings ist es für mich
> schwierig zu sehen, dass der wurzelterm gegen 0 geht.
Na, hoffentlich! Der geht nämlich gar nicht gegen 0, sondern gegen [mm] \infty.
[/mm]
[mm] \bruch{\wurzel[3]{2n+1}}{n} [/mm] geht aber gegen 0, weil der Nenner schneller wächst als der Zähler.
Wenn Du das so nicht erkennst, dann kommst Du um gebrochene Exponenten wohl doch nicht herum:
[mm] \bruch{\wurzel[3]{2n+1}}{n}=\bruch{\wurzel[3]{n}*\wurzel[3]{2+\bruch{1}{n}}}{n}=\bruch{\wurzel[3]{2+\bruch{1}{n}}}{n^{\bruch{2}{3}}}
[/mm]
Jetzt müsste es aber deutlich sein. Der Zähler bleibt endlich, der Nenner nicht.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Do 22.11.2012 | | Autor: | Duckx |
ja jetzt sehe ich es auch :) dankesehr
ich habe ein problem bei einem Ausdruck:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n)=0$ [/mm] und [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}(b_n)=\infty$
[/mm]
Ich soll nun Beispiele für [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $b_n$ [/mm] finden, sodass [mm] $lim(a_nb_n)=0$
[/mm]
heißt das [mm] $lim(a_nb_n)=lim (a_n \cdot b_n$)
[/mm]
oder kann ich auch meinetwegen [mm] \frac{a_n}{b_n}$ [/mm] nehmen?
ich hoffe ihr versteht meine Frage
beispiel [mm] $a_n=\frac{1}{n}$
[/mm]
[mm] $b_n=n$
[/mm]
dann wär [mm] $lim(a_nb_n)=0 [/mm] wenn ich [mm] $\frac{a_n}{b_n}$ [/mm] rechnen darf.
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Hallo nochmal,
> ja jetzt sehe ich es auch :) dankesehr
>
> ich habe ein problem bei einem Ausdruck:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n)=0[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(b_n)=\infty[/mm]
> Ich soll nun Beispiele für [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] finden, sodass
> [mm]lim(a_nb_n)=0[/mm]
> heißt das [mm]lim(a_nb_n)=lim (a_n \cdot b_n[/mm])
Genau das heißt es.
> oder kann ich
> auch meinetwegen [mm]\frac{a_n}{b_n}$[/mm] nehmen?
> ich hoffe ihr versteht meine Frage
Die Frage verstehe ich, aber die Antwort lautet nein.
> beispiel [mm]a_n=\frac{1}{n}[/mm]
> [mm]b_n=n[/mm]
>
> dann wär [mm]lim(a_nb_n)=0[/mm] wenn ich [mm][/mm][mm] \frac{a_n}{b_n}$[/mm] [/mm] rechnen
> darf.
Beispiele sind doch aber leicht zu konstruieren.
Fang z.B. mit [mm] b_n=n [/mm] an.
Dann muss [mm] a_n [/mm] schneller klein werden als [mm] b_n [/mm] groß, also z.B. [mm] a_n=\bruch{1}{n^2}.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 Do 22.11.2012 | | Autor: | Duckx |
ok gut dann werde ich mal probieren weiter zu machen :) danke für die große hilfe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Do 22.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Ok ich habe das jetzt für einige Fälle berechnet.
z.B.
[mm] $lim(a_nb_n)=c$ [/mm] $c [mm] \in [/mm] R [mm] \backslash \{0\}$ [/mm] beliebig
[mm] $a_n=\frac{1}{3n^2}$ [/mm] , [mm] $b_n=n^2$
[/mm]
[mm] $lim(a_nb_n)=\infty$
[/mm]
[mm] $a_n=\frac{1}{n^2}$ [/mm] , [mm] $b_n=n^3$
[/mm]
[mm] $lim(a_nb_n)=-\infty$
[/mm]
[mm] $a_n=\frac{1}{-n^2}$ [/mm] , [mm] $b_n=n^3$
[/mm]
Das ist soweit richtig oder?
[mm] $lim(a_nb_n)$ [/mm] existiert nicht
Da habe ich Probleme.
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Hallo nochmal,
> Ok ich habe das jetzt für einige Fälle berechnet.
> z.B.
> [mm]lim(a_nb_n)=c[/mm] [mm]c \in R \backslash \{0\}[/mm] beliebig
> [mm]a_n=\frac{1}{3n^2}[/mm] , [mm]b_n=n^2[/mm]
>
> [mm]lim(a_nb_n)=\infty[/mm]
> [mm]a_n=\frac{1}{n^2}[/mm] , [mm]b_n=n^3[/mm]
>
> [mm]lim(a_nb_n)=-\infty[/mm]
> [mm]a_n=\frac{1}{-n^2}[/mm] , [mm]b_n=n^3[/mm]
>
> Das ist soweit richtig oder?
Ja, das sind alles richtige Beispiele.
> [mm]lim(a_nb_n)[/mm] existiert nicht
> Da habe ich Probleme.
Ist das ein vierter Fall, für den Du ein Beispiel angeben sollst?
Dann würde ich daraus schließen, dass Ihr zwischen unbestimmter und bestimmter Divergenz unterscheidet.
Dann wäre z.B. [mm] a_n=\bruch{(-1)^n}{n} [/mm] und [mm] b_n=n [/mm] ein gutes Beispiel.
Grüße
reverend
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