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| Aufgabe | | Berechne [mm] $\limes_{x\rightarrow 0^+}(\bruch{x+x^2}{arctan(x)})^{\bruch{1}{sin(x)}}$! [/mm] |
Kònntet ihr mir bitte einen Tipp geben, wie ich diesen Grenzwert berechnen kann? Weiss einfach nicht wie anfangen.
Danke.
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Hallo Sonnenblume,
schön, dass du ein solch nettes "Hallo" für uns übrig hast ...
Nee, nee
> Berechne [mm]\limes_{x\rightarrow 0^+}(\bruch{x+x^2}{arctan(x)})^{\bruch{1}{sin(x)}}[/mm]!
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> Kònntet ihr mir bitte einen Tipp geben, wie ich diesen
> Grenzwert berechnen kann? Weiss einfach nicht wie
> anfangen.
Gem. [mm]a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}[/mm] für $a>0$ umschreiben und die Stetigkeit der
Exponentialfunktion ausnutzen:
[mm]\lim\limits_{x\to x_0}e^{g(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}[/mm]
Schreibe das also um und untersuche, was der Exponent für [mm]x\to 0^+[/mm] treibt.
> Danke.
Gruß
schachuzipus
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Hallo Schachuzipus!
Danke, du hast mir sehr weitergeholfen.
Also muss ich jetzt [mm] $\limes_{x\rightarrow 0^+}\bruch{x+x^2}{sin(x)arctan(x)}$ [/mm] berechnen.
Kann bitte mal jemand kontrollieren ob das so stimmt?
[mm] $\bruch{x+x^2}{sin(x)arctan(x)}=\bruch{x}{sin(x)}\bruch{1}{arctan(x)}+\bruch{x}{sin(x)}\bruch{x}{arctan(x)}$
[/mm]
Da nun [mm] $\limes_{x\rightarrow 0^+}\bruch{x}{sin(x)}=1$ [/mm] gilt, erhalte ich
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0^+}\bruch{1+x}{arctan(x)}=\bruch{1}{0^+}=+\infty$.
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Hallo Schachuzipus!
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> Danke, du hast mir sehr weitergeholfen.
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> Also muss ich jetzt [mm]\limes_{x\rightarrow 0^+}\bruch{x+x^2}{sin(x)arctan(x)}[/mm]
> berechnen.
Da hast du ein [mm]\ln[/mm] unterschlagen!
Zu berechnen ist [mm]\lim\limits_{x\to 0^+}\left[ \ \frac{1}{\sin(x)}\cdot{}\ln\left(\frac{x+x^2}{\arctan(x)}\right) \ \right][/mm]
> Kann bitte mal jemand kontrollieren ob das so stimmt?
Ich gucke hier nicht weiter, da der Ansatz nicht i.O. war ...
>
> [mm]\bruch{x+x^2}{sin(x)arctan(x)}=\bruch{x}{sin(x)}\bruch{1}{arctan(x)}+\bruch{x}{sin(x)}\bruch{x}{arctan(x)}[/mm]
> Da nun [mm]\limes_{x\rightarrow 0^+}\bruch{x}{sin(x)}=1[/mm] gilt,
> erhalte ich
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0^+}\bruch{1+x}{arctan(x)}=\bruch{1}{0^+}=+\infty[/mm].
>
>
Gruß
schachuzipus
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Oh ja, natùrlich, sorry!
Also $ [mm] \lim\limits_{x\to 0^+}\left[ \ \frac{1}{\sin(x)}\cdot{}\ln\left(\frac{x+x^2}{\arctan(x)}\right) \ \right] [/mm] $
Hmm aber jetzt weiss ich nicht mehr weiter, habs auf dem Zettel mit de Hopital probiert, aber das wird dann zu kompliziert und fùhrt zu nichts.
Kònntest du mir bitte noch einen kleinen Tipp geben?
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Hmm, weiss nicht ob diese Umformung mir vielleicht weiterhelfen kann:
[mm] \left[ \ \frac{1}{\sin(x)}\cdot{}\ln\left(\frac{x+x^2}{\arctan(x)}\right) \ \right]=\frac{1}{\sin(x)}\cdot\left[\ln(x+x^2)-\ln(\arctan(x))\right].
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Do 19.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sonnenblume!
Diese Umformung hilft hier nicht weiter, da daraus in der Grenzwertbetrachtung [mm]x\rightarrow 0^+[/mm] folgender unbestimmter Ausdruck entsteht:
[mm]... \ \rightarrow \ \bruch{1}{0}*\left[ \ \ln(0)-\ln(0) \ \right] \ = \ (+\infty)*\left[ \ (-\infty)-(-\infty) \ \right][/mm]
Das letzte Gleichheitszeichen ist natürlich nur in Anführungszeichen zu sehen (da mathematisch wenig korrekt); soll aber die Problematik des Ausdrucks aufzeigen.
Gruß
Loddar
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Hallo Sonnenblume2401,
> Oh ja, natùrlich, sorry!
> Also [mm]\lim\limits_{x\to 0^+}\left[ \ \frac{1}{\sin(x)}\cdot{}\ln\left(\frac{x+x^2}{\arctan(x)}\right) \ \right][/mm]
>
> Hmm aber jetzt weiss ich nicht mehr weiter, habs auf dem
> Zettel mit de Hopital probiert, aber das wird dann zu
> kompliziert und fùhrt zu nichts.
> Kònntest du mir bitte noch einen kleinen Tipp geben?
Alternative ist, die Taylorreihen von [mm]\sin\left(x\right)[/mm]
und [mm]\ln\left(\frac{x+x^2}{\arctan(x)}\right)[/mm] um x=0 zu bilden.
Gruss
MathePower
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Hmm, also [mm] $\sin(x)=x-\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^5}{5!}$ [/mm] usw.,
aber wie geht das mit $ [mm] \ln\left(\frac{x+x^2}{\arctan(x)}\right) [/mm] $?
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Hallo Sonnenblume2401,
> Hmm, also [mm]\sin(x)=x-\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^5}{5!}[/mm] usw.,
> aber wie geht das mit
> [mm]\ln\left(\frac{x+x^2}{\arctan(x)}\right) [/mm]?
Um hier zur Taylorreihe zu kommen sind Grenzwertbetrachtungen durchzuführen.
Gruss
MathePower
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Hmm, kann dir leider nicht folgen...
Also di Taylorreihe in x=0 ist ja [mm] $f(x)=f(0)+f'(0)x+\bruch{f''(0)}{2!}x^2+\bruch{f'''(0)}{3!}x^3$ [/mm] usw.
Ich habe aber schon Probleme mit f(0).
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Fr 27.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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