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| Aufgabe | Bestimmen Sie folgende Grenzwerte, falls diese existieren:
[mm] \limes_{n\rightarrow 0} \frac{x^2 + 2x + 3}{x-1} [/mm] |
Ich habe überhaupt keine Ahnung, wie ich da vorgehen soll, daher habe ich mal einfach einen Blindflug gemacht und etwas versucht:
[mm] \frac{x^2 + 2x + 3}{x-1}
[/mm]
= [mm] \frac{(x-1)^2 + 4x}{x-1}
[/mm]
= [mm] \frac{(x-1)^2}{x-1} [/mm] + [mm] \frac{4x}{x-1}
[/mm]
= (x-1) + [mm] \frac{4x}{x-1}
[/mm]
Wenn nun x [mm] \rightarrow [/mm] 0 geht, dann wird x-1 zu -1:
= -1 + [mm] \frac{4x}{x-1}
[/mm]
= -1 + 4x + [mm] \frac{1}{x-1}
[/mm]
= -1 + [mm] \frac{1}{-1}
[/mm]
= -1 - 1 = -2
Ich würde gerne wissen, ob ich so richtig rechne, weil ich mich irgendwie komplett auf dem falschen Dampfer fühle.
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Hallo stekoe2000,
> Bestimmen Sie folgende Grenzwerte, falls diese existieren:
>
> [mm] $\limes_{\red{x}\rightarrow 0} \frac{x^2 + 2x + 3}{x-1}$
[/mm]
> Ich habe
> überhaupt keine Ahnung, wie ich da vorgehen soll,
Was spricht gegen einen direkten Grenzübergang, das strebt doch für [mm] $x\to [/mm] 0$ gegen [mm] $\frac{0^2+2\cdot{}0+3}{0-1}=\frac{3}{-1}=-3$
[/mm]
> daher habe ich mal einfach einen Blindflug gemacht und etwas
> versucht:
>
> [mm]\frac{x^2 + 2x + 3}{x-1}[/mm]
> = [mm]\frac{(x-1)^2 + 4x}{x-1}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist doch [mm] $(x-1)^2+4x=x^2-2x+1+4x=x^2+2x+1\neq x^2+2x+3$
[/mm]
> =
> [mm]\frac{(x-1)^2}{x-1}[/mm] + [mm]\frac{4x}{x-1}[/mm]
> = (x-1) + [mm]\frac{4x}{x-1}[/mm]
>
> Wenn nun x [mm]\rightarrow[/mm] 0 geht, dann wird x-1 zu -1:
>
> = -1 + [mm]\frac{4x}{x-1}[/mm]
> = -1 + 4x + [mm]\frac{1}{x-1}[/mm]
> = -1 + [mm]\frac{1}{-1}[/mm]
> = -1 - 1 = -2
>
> Ich würde gerne wissen, ob ich so richtig rechne, weil ich
> mich irgendwie komplett auf dem falschen Dampfer fühle.
Das ist zu umständlich gedacht (und falsch umgeformt), hier geht es doch geradeheraus ...
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:53 Mi 13.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
neben den oben erwähnten Dingen:
> = -1 + [mm]\frac{4x}{x-1}[/mm]
> = -1 + 4x + [mm]\frac{1}{x-1}[/mm]
Was hast Du denn hier gerechnet?
[mm] $$-1+\frac{4x}{x-1}=-1+4x+\frac{1}{x-1}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \frac{4x}{x-1}=4x+\frac{1}{x-1}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] 4x=4x(x-1)+1$$
[mm] $$\gdw 4x=4x^2-4x+1$$
[/mm]
[mm] $$\gdw 4x^2-8x+1=0$$
[/mm]
[mm] $$\gdw x^2-2x+\frac{1}{4}=0\,.$$
[/mm]
Das ist eine quadratische Gleichung, welche nach der pq-Formel genau die zwei Lösungen [mm] $x_{1,2}=1\pm\sqrt{3/4}$ [/mm] hat. Und nur für diese [mm] $x_{1,2}$ [/mm] könntest Du obige Gleichheit schreiben. Also
[mm] $$-1+\frac{4x}{x-1}=-1+4x+\frac{1}{x-1}$$
[/mm]
ist i.a. Quatsch.
Gruß,
Marcel
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