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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Jennifer |
Hallo,
also ich muss den grenzwert von
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (3*(1+\bruch{1}{n})^{2n})
[/mm]
berechnen. Ich weiß, wie das Ergebnis lautet und das es scheinbar mit der eulerschen Zahl zusammenhängt, aber könnte mir jemand eventuell den lösungsweg erklären?
Wäre nett :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Jennifer!
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (3*(1+\bruch{1}{n})^{2n})
[/mm]
>
>
> berechnen. Ich weiß, wie das Ergebnis lautet
Warum teilst du es dann nicht mit???
> und das es
> scheinbar mit der eulerschen Zahl zusammenhängt, aber
> könnte mir jemand eventuell den lösungsweg erklären?
Ich gebe erst mal einen Tipp:
Es gilt:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n [/mm] = e$.
Jetzt meine Fragen an dich:
(1) Kennst du diese Beziehung?
(2) Wie kann man damit weiterrechnen? (Tipp: Grenzwertsätze)
(3) Wie lautet also das Endergebnis?
Bis später... 
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:08 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Jennifer |
Also die Grenzwertsätze haben wir schlicht und einfach noch nicht abgehandelt :/. ich bekomme die grenzwerte zur zeit also nur graphisch heraus und wollte einmal wissen, wie man es denn anders lösen könnte, da bei dieser aufgabe die graphische lösung schlichtweg utopisch ist.
Die Lösung würde [mm] 3e²\approx [/mm] 22,16 lauten...
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Hi Jennifer,
erstmal einer der Grenzwertsätze: es gilt [mm] \lim\limits_{n \to \infty} (c*a_n) = c*\lim\limits_{n \to \infty} (a_n) [/mm] , wenn [mm] c [/mm] eine konstante Zahl ist.
Das heißt, in deiner Aufgabe kannst du den Faktor 3 vor den Limes ziehen.
Außerdem gilt noch: [mm] \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{2n} = (\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n)^2 [/mm]
oder an einem einfacheren Beispiel: [mm] x^{2n}=(x^n)^2=(x^2)^n [/mm]
Und jetzt schau mal, ob dir das, zusammen mit dem Limes [mm] \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e [/mm] von Julius, den Grenzwert [mm] 3*e^2 [/mm] liefert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:42 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Jennifer |
Oh vielen dank, das war genau das, was ich ich gesucht habe :)
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