Grenzwertberechnung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Sa 23.07.2016 | | Autor: | szgaming |
| Aufgabe | Berechnen Sie für x [mm] \not= [/mm] 0 den Grenzwert
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{n}}{x}sin(\bruch{x}{2^{n}}) [/mm] |
Ich weiß, dass der Grenzwert dieser Folge laut meinem Skript 1 sein soll:
Die Lösung lautet:
x [mm] \not= [/mm] 0: [mm] y_{n} [/mm] = [mm] \bruch{x}{2^{n}} \not= [/mm] 0, [mm] y_{n} \to [/mm] 0.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{n}}{x}sin(\bruch{x}{2^{n}}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{sin(y_{n})}{y_{n}} [/mm] = 1
Jedoch verstehe ich noch nicht genau wie man zu diesem Ergebnis gelangt. Kann mir dies einer bitte erklären?
MfG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Sa 23.07.2016 | | Autor: | phifre |
Hallo!
Die genannten Umformungen aus deiner Lösung sind dir aber klar?
Dann wäre noch das einzig unklare, warum [mm] $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1.$$
[/mm]
Dazu benutzt man die Regeln von l'Hospital, sagen Dir die etwas?
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Sa 23.07.2016 | | Autor: | szgaming |
Die Umformung war ja lediglich das Teilen durch den Kehrwert.
Dass:
$ [mm] \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1. [/mm] $
ergibt ist mir klar, da ich die Regel von l'Hospital kenne.
Jedoch wäre ja beispielsweise:
$ [mm] \lim_{x\to \infty} \frac{\sin x}{x}=0. [/mm] $
Daher hätte ich erwartet, dass hier eventuell das selbe Ergebnis resultiert, was ja leider nicht der Fall ist.
/EDIT:
Mir ist echt nicht aufgefallen, dass man L'Hopital hier verwenden kann. Danke für den Hinweis. Da ja sozusagen dann sin(0)/0 stehen würde, kann ich dann einfach den Grenzwert von $ [mm] \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1. [/mm] $ betrachten? Muss ich den Rest wirklich nicht berücksichtigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Sa 23.07.2016 | | Autor: | phifre |
Was genau meinst du mit dem Rest?
Die Folge [mm] $y_n$ [/mm] ist ja gerade eine Nullfolge, daher ist es doch gleichbedeutend
[mm] $$\lim_{n\to\infty}\frac{\sin y_n}{y_n} [/mm] = [mm] \lim_{z\to0}\frac{\sin z}{z}$$
[/mm]
zu betrachten. (Sorry meine Schreibweise mit dem $x$ im vorherigen Post war evtl etwas missverständlich.)
Die genaue Gestalt von [mm] $y_n$ [/mm] ist dann garnicht mehr von Interesse.
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