Grenzwertaussage zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:20 So 11.11.2012 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe | | Sei [mm] a_{n} [/mm] eine Folge mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] = [mm] \infty, [/mm] und sei [mm] b_{n} [/mm] eine Folge, für die ein N [mm] \in \IN [/mm] und C < 0 existieren mit [mm] b_{n} \le [/mm] C für alle n [mm] \ge [/mm] N. Zeigen Sie, dass gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}b_{n}= -\infty [/mm] |
Guten Abend,
diese Aufgabe erscheint mir recht einfach, aber mein Lösungsansatz erscheint mir noch banaler, sodass ich hier Sicherheitshalber nachfrage, ob alles seine Richtigkeit hat.
Also:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}b_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}*\limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_{1},a_{2},...,a_{n})=\infty
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}(b_{1},b_{2},...,b_{n})=C
[/mm]
die Folge [mm] b_{n} [/mm] konvergiert gegen einen negativen Grenzwert
Wenn die beiden Folgen [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] nach den Grenzwertsätzen miteinander multipliziert werden, gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a{n}*\limes_{n\rightarrow\infty}b_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}b_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},...a_{n}b_{n}).
[/mm]
Da [mm] a_{n} [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] gegen C mit C<0 konvergiert, wird für n -> [mm] \infty [/mm] ein positiver Wert aus [mm] a_{n} [/mm] mit einem negativen Wert b aus [mm] b_{n} [/mm] miteinander multipliziert werden. Jeder Wert aus [mm] a_{n} [/mm] wird mit einem sich an C annähernden negativen Wert aus [mm] b_{n} [/mm] multipliziert, so dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}b_{n}= -\infty [/mm]
für n-> [mm] \infty [/mm] gilt.
Ist das so richtig argumentiert? Es erscheint mir einfach zu banal, weswegen ich Zweifel an der Vollständigkeit habe.
grüße,
zjay
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 So 11.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]a_{n}[/mm] eine Folge mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm] =
> [mm]\infty,[/mm] und sei [mm]b_{n}[/mm] eine Folge, für die ein N [mm]\in \IN[/mm]
> und C < 0 existieren mit [mm]b_{n} \le[/mm] C für alle n [mm]\ge[/mm] N.
> Zeigen Sie, dass gilt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}b_{n}= -\infty[/mm]
Das ist doch falsch ! Beispiel: [mm] a_n=n [/mm] und [mm] b_n=1/n
[/mm]
FRED
>
> Guten Abend,
>
> diese Aufgabe erscheint mir recht einfach, aber mein
> Lösungsansatz erscheint mir noch banaler, sodass ich hier
> Sicherheitshalber nachfrage, ob alles seine Richtigkeit
> hat.
>
> Also:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}b_{n}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}*\limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{1},a_{2},...,a_{n})=\infty[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}(b_{1},b_{2},...,b_{n})=C[/mm]
>
> die Folge [mm]b_{n}[/mm] konvergiert gegen einen negativen
> Grenzwert
>
> Wenn die beiden Folgen [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] nach den
> Grenzwertsätzen miteinander multipliziert werden, gilt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a{n}*\limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}b_{n}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},...a_{n}b_{n}).[/mm]
>
> Da [mm]a_{n}[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] gegen C mit C<0
> konvergiert, wird für n -> [mm]\infty[/mm] ein positiver Wert aus
> [mm]a_{n}[/mm] mit einem negativen Wert b aus [mm]b_{n}[/mm] miteinander
> multipliziert werden. Jeder Wert aus [mm]a_{n}[/mm] wird mit einem
> sich an C annähernden negativen Wert aus [mm]b_{n}[/mm]
> multipliziert, so dass
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}b_{n}= -\infty[/mm]
>
> für n-> [mm]\infty[/mm] gilt.
>
>
> Ist das so richtig argumentiert? Es erscheint mir einfach
> zu banal, weswegen ich Zweifel an der Vollständigkeit
> habe.
>
> grüße,
>
> zjay
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 So 11.11.2012 | | Autor: | zjay |
mhm, aber was soll ich dagegen tun, wenn dies nun mal meine aufgabe ist? ;o
ich könnte meinen lösungsansatz dann unter die voraussetzung, dass C [mm] \not= [/mm] 0 ist, stellen, oder?
Und wäre die Aufgabe denn mit dieser Voraussetzung lösbar und richtig gelöst?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 So 11.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> mhm, aber was soll ich dagegen tun, wenn dies nun mal meine
> aufgabe ist? ;o
Hier muß sich FRED geirrt haben. Die zu beweisende Aussage stimmt und Du kannst sie beweisen, wenn Du Dir noch mal die Definition von bestimmter Divergenz gegen [mm] $\pm \infty$ [/mm] anschaust.
Das heißt zu [mm] $S\in \IR$ [/mm] mußt Du ein $N$ angeben, so daß [mm] $a_nb_n \le [/mm] S$ für alle [mm] $n\ge N\,.$ [/mm] Wegen [mm] $a_n\to\infty$ [/mm] gibt es ein [mm] $N_1$, [/mm] so daß [mm] $a_n \ge 0\$ [/mm] für alle [mm] $n\ge N_1\;.$ [/mm] Nach Voraussetzung gibt es ein [mm] $N_2$, [/mm] so daß [mm] $b_n\le [/mm] C$ für alle [mm] $n\ge N_2\,.$ [/mm] Für $n [mm] \ge N_3=\max (N_1, N_2)$ [/mm] folgt [mm] $b_na_n \le Ca_n$. [/mm] Jetzt gib ein [mm] $N_4$ [/mm] an, so daß [mm] $Ca_n \le [/mm] S$ für alle $n [mm] \ge N_4$ [/mm] und Du bist mit [mm] $N=N_4$ [/mm] fertig!
Gruß,
Wolfgang
>
> ich könnte meinen lösungsansatz dann unter die
> voraussetzung, dass C [mm]\not=[/mm] 0 ist, stellen, oder?
>
> Und wäre die Aufgabe denn mit dieser Voraussetzung lösbar
> und richtig gelöst?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:55 So 11.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo FRED,
> > Sei [mm]a_{n}[/mm] eine Folge mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm] =
> > [mm]\infty,[/mm] und sei [mm]b_{n}[/mm] eine Folge, für die ein N [mm]\in \IN[/mm]
> > und C < 0 existieren mit [mm]b_{n} \le[/mm] C für alle n [mm]\ge[/mm] N.
> > Zeigen Sie, dass gilt
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}b_{n}= -\infty[/mm]
>
> Das ist doch falsch ! Beispiel: [mm]a_n=n[/mm] und [mm]b_n=1/n[/mm]
Dies ist kein Gegenbeispiel. Die Aufgabe ist richtig! Dein Beispiel verletzt die Voraussetzung [mm] $b_n\le [/mm] C$ für fast alle $n$ und ein [mm] $C<0\,.$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:52 Mo 12.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED,
> > > Sei [mm]a_{n}[/mm] eine Folge mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm] =
> > > [mm]\infty,[/mm] und sei [mm]b_{n}[/mm] eine Folge, für die ein N [mm]\in \IN[/mm]
> > > und C < 0 existieren mit [mm]b_{n} \le[/mm] C für alle n [mm]\ge[/mm] N.
> > > Zeigen Sie, dass gilt
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}b_{n}= -\infty[/mm]
> >
> > Das ist doch falsch ! Beispiel: [mm]a_n=n[/mm] und [mm]b_n=1/n[/mm]
>
> Dies ist kein Gegenbeispiel. Die Aufgabe ist richtig! Dein
> Beispiel verletzt die Voraussetzung [mm]b_n\le C[/mm] für fast alle
> [mm]n[/mm] und ein [mm]C<0\,.[/mm]
>
> Gruß,
> Wolfgang
>
Hallo Wolfgang,
das <0 hatte ich gar nicht gesehen ! Pardon.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:13 Mo 12.11.2012 | | Autor: | zjay |
danke für die hilfe. ich habe das auch nach deinem ansatz gelöst und heute abgegeben.
grüße,
zjay
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