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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:37 Mi 16.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge {an} n=1 -> unendlich :
an = [mm] \sqrt[n]{n^2 + 1} [/mm] |
ich finde keinen richtigen ansatz...da ich weiß, dass [mm] \sqrt[n]{n} [/mm] -> 1, habe ich mal so angefangen:
[mm] \sqrt[n]{n^2 + 1}
[/mm]
[mm] \sqrt[n]{n * (n + 1/n)}
[/mm]
[mm] \sqrt[n]{n} [/mm] * [mm] \sqrt[n]{n + 1/n}
[/mm]
ist der anfang schon mal korrekt? wenn ja, wie muss ich weiter machen...wenn nein, wie wäre der richtige anfang? :)
mfg sarah
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> ansatz...da ich weiß, dass [mm]\sqrt[n]{n}[/mm] -> 1, habe ich mal
Ok, dann klammere doch mal [mm] n^{2} [/mm] aus und lasse n gegen unendlich laufen.
Dein vorgehen ist prinzipiell richtig.
> so angefangen:
>
> [mm]\sqrt[n]{n^2 + 1}[/mm]
> [mm]\sqrt[n]{n * (n + 1/n)}[/mm]
> [mm]\sqrt[n]{n}[/mm] *
> [mm]\sqrt[n]{n + 1/n}[/mm]
gruß Valerie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:40 Do 17.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
ich habs jetzt so gemacht:
[mm] \sqrt[n]{n^2 + 1}
[/mm]
[mm] \sqrt[n]{n^2 * (1/n^2)}
[/mm]
[mm] \sqrt[n]{n} [/mm] * [mm] \sqrt[n]{n} [/mm] * [mm] \sqrt[n]{1/n^2}
[/mm]
also 1 1 und 0
daraus schließe ich, dass der grenzwert 0 ist...stimmt das? :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:00 Do 17.11.2011 | | Autor: | Helbig |
> ich habs jetzt so gemacht:
>
> [mm]\sqrt[n]{n^2 + 1}[/mm]
> [mm]\sqrt[n]{n^2 * (1/n^2)}[/mm]
> [mm]\sqrt[n]{n}[/mm] *
> [mm]\sqrt[n]{n}[/mm] * [mm]\sqrt[n]{1/n^2}[/mm]
> also 1 1 und 0
> daraus schließe ich, dass der grenzwert 0 ist...stimmt
> das? :)
Nein. Du hast Dich beim Ausklammern verrechnet:
[mm] $\root [/mm] n [mm] \of {n^2+1}=\root [/mm] n [mm] \of {n^2*(1+1/n^2)}=\root [/mm] n [mm] \of {n^2}*\root [/mm] n [mm] \of {1+1/n^2}$.
[/mm]
Beide Faktoren streben gegen 1. Dies mußt Du für den zweiten noch zeigen.
OK?
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:59 Do 17.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
ist es nicht trivial, dass [mm] \sqrt[n]{1 + 1/n^2} [/mm] gegen null geht?
reicht es nicht wenn ich einfach hin schreibe, dass es so ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:43 Do 17.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> ist es nicht trivial, dass [mm]\sqrt[n]{1 + 1/n^2}[/mm] gegen null
> geht?
Nein.
>
> reicht es nicht wenn ich einfach hin schreibe, dass es so
> ist?
Nein.
Es ist
1 [mm] \le \sqrt[n]{1 + 1/n^2} \le \sqrt[n]{2} [/mm] für jedes n.
Hilft das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Do 17.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
vielleicht so:
[mm] \sqrt[(n+1)]{1 + 1/(n+1)^2} [/mm] < [mm] \sqrt[n]{1 + 1/n^2}
[/mm]
und 1 [mm] \le \sqrt[n]{1 + 1/n^2} \le \sqrt[n]{2}
[/mm]
=> Grenzwert bei n -> unendlich = 1
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Hallo sarah88,
> vielleicht so:
>
> [mm]\sqrt[(n+1)]{1 + 1/(n+1)^2}[/mm] < [mm]\sqrt[n]{1 + 1/n^2}[/mm]
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Was soll das?
>
> und 1 [mm]\le \sqrt[n]{1 + 1/n^2} \le \sqrt[n]{2}[/mm]
Ja, das war der Ansatzpunkt von Fred ..
>
> => Grenzwert bei n -> unendlich = 1
Ja, linkerhand und rechterhand der Ungleichung.
Nach dem Sandwichlemma konvergiert damit auch der mittlere "eingequetschte" Ausdruck gegen 1 für [mm]n\to\infty[/mm] <-- klicke mal drauf!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Do 17.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
so?
1 [mm] \le [/mm] lim [mm] \sqrt[n]{1+ 1/n^2} \le [/mm] lim [mm] \sqrt[n]{2}
[/mm]
weil lim [mm] \sqrt[n]{2} [/mm] = 1
=> 1 [mm] \le [/mm] lim [mm] \sqrt[n]{1+ 1/n^2} \le [/mm] 1
=> lim [mm] \sqrt[n]{1+ 1/n^2} [/mm] = 1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Do 17.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Bingo
FRED
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