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| Aufgabe | | Zeigen Sie das die Folge [mm] (a_n)=\left( \left(1 + \bruch{1}{n}\right)^{n+1}\right)_{n\ge 1} [/mm] streng monoton fallend mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n)=e [/mm] ist. |
Hallo zusammen.
Ich bastele hier schon eine Zeit an dieser Aufgabe.
Den ersten Teil mit der Monotonie habe ich glaube ich soweit hin bekommen, bloß verzweifle ich an dieser vermaledeiten Epsilonumgebung...
Wäre nett wenn jemand mal einen Blick drauf werfen und mir einen Schubs in die richtige Richtung geben kann.
Zur Monotonie:
Hier habe ich mir den Quotienten eines Folgenglieds mit seinem Nachfolger angeschaut und mit der Bernoulli-Ungleichung die streng monoton fallende Eigenschaft nachgewiesen:
[mm]
\bruch{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1}}{\left(1+\bruch{1}{n+1}\right)^{n+2}}
= \left( \bruch{n+1}{n}\right)^{n+1}*\left(\bruch{n+1}{n+2}\right)^{n+2}*\left(\bruch{n+1}{n}\right)^{1}*\left(\bruch{n+1}{n}\right)^{-1}
= \left(\bruch{n+1}{n}*\bruch{n+1}{n+2}\right)^{n+2}*\bruch{n}{n+1}
= \left(\bruch{(n+1)²}{n(n+2)}\right)^{n+2}*\bruch{n}{n+1}
= \left(\bruch{n(n+2)+1}{n(n+2)}\right)^{n+2}*\bruch{n}{n+1}
= \left(1+\bruch{1}{n(n+2)}\right)^{n+2}*\bruch{n}{n+1}
> \left(1+(n+2)*\bruch{1}{n(n+2)}\right)*\bruch{n}{n+1}
= \left(1+\bruch{1}{n}\right)*\bruch{n}{n+1}
= \bruch{n+1}{n}*\bruch{n}{n+1}
= 1 [/mm]
Somit gilt: [mm] (a_n)_{n\in\IN}>(a_{n+1})_{n\in\IN}, [/mm] d.h. die Folge ist streng monoton fallend.
Zum Grenzwert versuche ich es mit dem Satz des Archimedes und der Epsilonumgebung, ich kriege das aber nicht vernünftig nach n umgeformt:
Sei [mm] (a_n)_{n\in\IN}=\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1}\,. [/mm] Sei [mm] \varepsilon>0\,.
[/mm]
Nach Archimedes existiert ein [mm] n_0\in\IN [/mm] mit [mm] n_0>\bruch{1}{\varepsilon}\,.
[/mm]
Dann setze [mm] n_0 [/mm] so, dass [mm] \bruch{1}{n_0}<\varepsilon\,.
[/mm]
Dann gilt: [mm] |a_n-e| [/mm] = [mm] |\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1}-e| [/mm] = [mm] \ldots
[/mm]
Ja, wie mache ich jetzt weiter? Ich hatte es versucht mit
[mm] \ldots [/mm] = [mm] \big|(n+1)^{n+1}*n^{-(n+1)}-e| [/mm] = [mm] |\left(\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ k}n^{n+1-k}*1^k\right)*n^{-(n+1)}-e| [/mm] = [mm] |\left(\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ k}n^k\right)-e| [/mm] = [mm] \ldots
[/mm]
Hab ich da den Binomialkoeffizienten überhaupt richtig ausgedrückt? Bringt mich das weiter? Ich sehe da kein Licht am Ende des Tunnels...
Ich bin für Hilfe echt dankbar.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:25 So 01.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie das die Folge [mm](a_n)=\left( \left(1 + \bruch{1}{n}\right)^{n+1}\right)_{n\ge 1}[/mm]
> streng monoton fallend mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n)=e[/mm] ist.
>
> Hallo zusammen.
>
> Ich bastele hier schon eine Zeit an dieser Aufgabe.
> Den ersten Teil mit der Monotonie habe ich glaube ich
> soweit hin bekommen, bloß verzweifle ich an dieser
> vermaledeiten Epsilonumgebung...
> Wäre nett wenn jemand mal einen Blick drauf werfen und
> mir einen Schubs in die richtige Richtung geben kann.
>
> Zur Monotonie:
> Hier habe ich mir den Quotienten eines Folgenglieds mit
> seinem Nachfolger angeschaut und mit der
> Bernoulli-Ungleichung die streng monoton fallende
> Eigenschaft nachgewiesen:
>
> [mm]
\bruch{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1}}{\left(1+\bruch{1}{n+1}\right)^{n+2}}
= \left( \bruch{n+1}{n}\right)^{n+1}*\left(\bruch{n+1}{n+2}\right)^{n+2}*\left(\bruch{n+1}{n}\right)^{1}*\left(\bruch{n+1}{n}\right)^{-1}
= \left(\bruch{n+1}{n}*\bruch{n+1}{n+2}\right)^{n+2}*\bruch{n}{n+1}
= \left(\bruch{(n+1)²}{n(n+2)}\right)^{n+2}*\bruch{n}{n+1}
= \left(\bruch{n(n+2)+1}{n(n+2)}\right)^{n+2}*\bruch{n}{n+1}
= \left(1+\bruch{1}{n(n+2)}\right)^{n+2}*\bruch{n}{n+1}
> \left(1+(n+2)*\bruch{1}{n(n+2)}\right)*\bruch{n}{n+1}
= \left(1+\bruch{1}{n}\right)*\bruch{n}{n+1}
= \bruch{n+1}{n}*\bruch{n}{n+1}
= 1[/mm]
>
> Somit gilt: [mm](a_n)_{n\in\IN}>(a_{n+1})_{n\in\IN},[/mm] d.h. die
> Folge ist streng monoton fallend.
>
>
> Zum Grenzwert versuche ich es mit dem Satz des Archimedes
> und der Epsilonumgebung, ich kriege das aber nicht
> vernünftig nach n umgeformt:
>
> Sei [mm](a_n)_{n\in\IN}=\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1}\,.[/mm]
> Sei [mm]\varepsilon>0\,.[/mm]
> Nach Archimedes existiert ein [mm]n_0\in\IN[/mm] mit
> [mm]n_0>\bruch{1}{\varepsilon}\,.[/mm]
> Dann setze [mm]n_0[/mm] so, dass [mm]\bruch{1}{n_0}<\varepsilon\,.[/mm]
> Dann gilt: [mm]|a_n-e|[/mm] = [mm]|\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1}-e|[/mm]
> = [mm]\ldots[/mm]
>
> Ja, wie mache ich jetzt weiter? Ich hatte es versucht mit
>
> [mm]\ldots[/mm] = [mm]\big|(n+1)^{n+1}*n^{-(n+1)}-e|[/mm] =
> [mm]|\left(\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ k}n^{n+1-k}*1^k\right)*n^{-(n+1)}-e|[/mm]
> = [mm]|\left(\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ k}n^k\right)-e|[/mm] =
> [mm]\ldots[/mm]
>
> Hab ich da den Binomialkoeffizienten überhaupt richtig
> ausgedrückt? Bringt mich das weiter? Ich sehe da kein
> Licht am Ende des Tunnels...
ich hab' jetzt nichts nachgerechnet, aber Du kannst im Prinzip hier
![[]](/images/popup.gif) http://www.math.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV2005.pdf
in Beispiel 5.13 reingucken - der Beweis zu [mm] $(b_n)_n$ [/mm] verläuft wirklich sehr analog.
(Und so vom ersten Drübergucken machst Du das oben auch analog.)
Ich frage mich gerade, wie ihr [mm] $e\,$ [/mm] definiert habt: Als
[mm] $\sum_{k=0}^\infty [/mm] 1/k!$?
Auch dann kannst Du das Skript durchstöbern: Satz C.5 (S.340) liefert Dir
dann nämlich
[mm] $e=\sum_{k=0}^\infty 1/k!=\lim (1+1/n)^n\,.$
[/mm]
Und dann ist es fast trivial:
[mm] $(1+1/n)^{n+1}=(1+1/n)*(1+1/n)^n \to 1*e=e\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:06 Sa 07.12.2013 | | Autor: | Endorphin |
Etwas spät aber danke dir Marcel,
wir dachten alle wir sollten uns mit eine Epsilonumgebung an den Grenzwert annähern, aber das war dann doch die Lösung.
LG, Endo
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