Grenzwert von Reihen bestimmen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweise:
[m]\sum_{k=0}^\infty\frac{k^2}{k!}=2e[/m]
[m]\sum_{k=0}^\infty\frac{k^3}{k!}=5e[/m]
[m]\sum_{k=0}^\infty\frac{k^4}{k!}=15e[/m]
Tipp: Betrachte die Potenzreihenentwicklung von [m]h(z)=e^{e^z}[/m] |
Hallöle,
ich bins mal wieder..
Hänge fest an obiger Aufgabe. Meine bisherigen Versuche gingen in Richtung die Potenzreihe von [m]h(z)[/m] auf zuschreiben und den Wert für [m]e^z=\ln(2e)[/m] einzusetzen (der Wert bei dem h den Wert 2e ausgibt) und zu versuchen, daraus den Ausdruck [m]k^2[/m] zu bekommen. Hat leider bisher nicht so wirklich hingehauen.
Wär super, wenn mir jemand unter die Arme greifen kann.
Vielen Dank im Voraus,
Lorenz
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> Beweise:
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> [m]\sum_{k=0}^\infty\frac{k^2}{k!}=2e[/m]
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> [m]\sum_{k=0}^\infty\frac{k^3}{k!}=5e[/m]
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> [m]\sum_{k=0}^\infty\frac{k^4}{k!}=15e[/m]
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> Tipp: Betrachte die Potenzreihenentwicklung von
> [m]h(z)=e^{e^z}[/m]
> Hallöle,
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> ich bins mal wieder..
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> Hänge fest an obiger Aufgabe. Meine bisherigen Versuche
> gingen in Richtung die Potenzreihe von [m]h(z)[/m] auf zuschreiben
> und den Wert für [m]e^z=\ln(2e)[/m] einzusetzen (der Wert bei dem
> h den Wert 2e ausgibt) und zu versuchen, daraus den
> Ausdruck [m]k^2[/m] zu bekommen. Hat leider bisher nicht so
> wirklich hingehauen.
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> Wär super, wenn mir jemand unter die Arme greifen kann.
Auf den ersten Blick kann ich mit dem Tipp nicht gleich was anfangen: dies liegt vermutlich daran, dass ich für die Lösung dieser Aufgabe bereits unter einer "fixen Idee" leide; und zwar der folgenden: es ist doch
[mm]x\cdot \left(x\cdot \left(\mathrm{e}^x\right)'\right)'=\sum_{k=0}^\infty \frac{k^2}{k!}x^k[/mm]
wie gliedweises Differenzieren der jeweiligen Reihenentwicklung, beginnend mit [mm] $\mathr{e}^x=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}x^k$, [/mm] und dann wieder mit $x$ Multiplizieren zeigt. Nun ist aber auch [mm] $x\cdot \left(x\cdot \left(\mathrm{e}^x\right)'\right)'=x\cdot(1+x)\cdot\mathrm{e}^x$, [/mm] also erhält man insgesamt [mm] $x\cdot(1+x)\cdot \mathrm{e}^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{k^2}{k!}x^k$ [/mm] und daher, durch Einsetzen von $1$ für $x$, die Richtigkeit der Aussage [mm] $\sum_{k=0}^\infty \frac{k^2}{k!}=2\mathrm{e}$.
[/mm]
Analog verfährt man bei den weiteren Aussagen (weiter Ableiten nach $x$ und dann wieder Multiplizieren mit $x$).
Kurz: der Wert der Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}$ [/mm] ergibt sich aus der $n$-maligen Anwendung des "Operators" [mm] $x\frac{d}{dx}$ [/mm] auf (die Reihenentwicklung von) [mm] $\mathrm{e}^x$ [/mm] und Einsetzen von $1$ für $x$.
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Hallo Riesenradfahrrad,
> Beweise:
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> [m]\sum_{k=0}^\infty\frac{k^2}{k!}=2e[/m]
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> [m]\sum_{k=0}^\infty\frac{k^3}{k!}=5e[/m]
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> [m]\sum_{k=0}^\infty\frac{k^4}{k!}=15e[/m]
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> Tipp: Betrachte die Potenzreihenentwicklung von
> [m]h(z)=e^{e^z}[/m]
> Hallöle,
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> ich bins mal wieder..
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> Hänge fest an obiger Aufgabe. Meine bisherigen Versuche
> gingen in Richtung die Potenzreihe von [m]h(z)[/m] auf zuschreiben
> und den Wert für [m]e^z=\ln(2e)[/m] einzusetzen (der Wert bei dem
> h den Wert 2e ausgibt) und zu versuchen, daraus den
> Ausdruck [m]k^2[/m] zu bekommen. Hat leider bisher nicht so
> wirklich hingehauen.
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> Wär super, wenn mir jemand unter die Arme greifen kann.
Es ist
[mm]e^{e^{x}}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{\left(e^{x}\right)^{k}}{k!}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{e^{kx}}{k!}[/mm]
Dies n-mal abgeleitet ergibt dann:
[mm]\bruch{d^{n}}{dx^{n}}\left(e^{e^{x}}\right)=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k^{n}*e^{kx}}{k!}[/mm]
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> Vielen Dank im Voraus,
> Lorenz
Gruß
MathePower
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Herzlichen Dank an Somebody und Mathpower für dei schnelle und hilfreiche Reaktion!
Greez,
Lorenz
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