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Grenzwert von Reihen: Cauchy Produkt
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:08 Fr 12.12.2008
Autor: Ikit

Aufgabe
Zeige [mm] \summe_{k=0}^{\infty} k^{2} q^{k} [/mm] = [mm] \bruch{2s + 1}{1 - q} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(1 - q) ^{2}} [/mm]

wobei s gleich [mm] \summe_{k=0}^{\infty} kq^{k} [/mm] ist.
Mit Hilfe des direkten und des Cauchy Produktes von:

[mm] (\summe_{k=0}^{\infty} [/mm] (2k - [mm] 1)q^{k} [/mm] ) [mm] (\summe_{k=0}^{\infty} q^{k} [/mm] )

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich denke, dass man mit dem Cauchy Produkt auf die linke Seite und mit dem direkten Produkt auf die rechte Seite kommt. Ich hab aber bei beiden Probleme.

Zunächst das direkte:

[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(2k [/mm] - [mm] 1)q^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} 2kq^{k} [/mm] - [mm] q^{k} [/mm] = 2s - [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm]
Der Rechte Teil ist nochmal die geometrische Reihe also nochmal [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] multiplizieren:
[mm] \bruch{2s}{1-q} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(1-q)^{2}} [/mm]

Wo kommt die +1 im ersten Zähler her?

Dann Cauchy Produkt:

[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \summe_{j=0}^{k} [(2j-1)q^{j}] q^{k-j} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} \summe_{j=0}^{k} [/mm] 2j - 1

Wie komm ich von [mm] \summe_{j=0}^{k} [/mm] 2j - 1 auf [mm] k^{2} [/mm] ?



        
Bezug
Grenzwert von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:32 Fr 12.12.2008
Autor: Fulla

Hallo Ikit,

wenn ich mir die Reihe mit Maple ausrechnen lasse, komm ich auf
[mm] $\sum_{k=0}^\infty k^2q^k=\frac{3q-1}{(1-q)^3}=\frac{2s}{1-q}-\frac{1}{(1-q)^2}$, [/mm] wobei [mm] $s:=\sum_{k=0}^\infty kq^k=\frac{q}{(1-q)^2}$ [/mm]

Die "+1" in der Angabe ist also falsch (oder es ist ein anderer Fehler irgendwo).

Zu deiner Frage beim Cauchy-Produkt:
[mm] $\sum_{j=0}^k (2j-1)=2\sum_{j=0}^k [/mm] j [mm] -\sum_{j=0}^k 1=2*\frac{k(k+1)}{2}-k=\ldots=k^2$ [/mm]


Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
                
Bezug
Grenzwert von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:58 Fr 12.12.2008
Autor: Ikit

Danke dir!

Bezug
        
Bezug
Grenzwert von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:42 Fr 12.12.2008
Autor: MathePower

Hallo lkit,

> Zeige [mm]\summe_{k=0}^{\infty} k^{2} q^{k}[/mm] = [mm]\bruch{2s + 1}{1 - q}[/mm]
> - [mm]\bruch{1}{(1 - q) ^{2}}[/mm]
>  
> wobei s gleich [mm]\summe_{k=0}^{\infty} kq^{k}[/mm] ist.
>  Mit Hilfe des direkten und des Cauchy Produktes von:
>  
> [mm](\summe_{k=0}^{\infty}[/mm] (2k - [mm]1)q^{k}[/mm] )
> [mm](\summe_{k=0}^{\infty} q^{k}[/mm] )
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Ich denke, dass man mit dem Cauchy Produkt auf die linke
> Seite und mit dem direkten Produkt auf die rechte Seite
> kommt. Ich hab aber bei beiden Probleme.
>  
> Zunächst das direkte:
>  
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(2k[/mm] - [mm]1)q^{k}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} 2kq^{k}[/mm]
> - [mm]q^{k}[/mm] = 2s - [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm]
>  Der Rechte Teil ist nochmal die geometrische Reihe also
> nochmal [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm] multiplizieren:
>  [mm]\bruch{2s}{1-q}[/mm] - [mm]\bruch{1}{(1-q)^{2}}[/mm]


[ok]


>  
> Wo kommt die +1 im ersten Zähler her?


Die kommt jetzt noch nicht zum Vorschein.


>  
> Dann Cauchy Produkt:
>  
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \summe_{j=0}^{k} [(2j-1)q^{j}] q^{k-j}[/mm]
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} q^{k} \summe_{j=0}^{k}[/mm] 2j - 1


[ok]


>  
> Wie komm ich von [mm]\summe_{j=0}^{k}[/mm] 2j - 1 auf [mm]k^{2}[/mm] ?
>  
>  


Nun setzt Du das Cauchy-Produkt und das direkt von Dir berechnete gleich:

[mm]\summe_{k=0}^{\infty}q^{k}\left(\summe_{j=0}^{k}\left(2j-1\right)\right)=\bruch{2s}{1-q}-\bruch{1}{\left(1-q\right)^{2}}[/mm]

Jetzt mußt Du aber erst

[mm]\summe_{j=0}^{k}\left(2j-1\right)[/mm]

berechnen, da diese Summe auch von k abhängt.

Einsetzen und nach einer Umformung kommt dann die "+1" zum Vorschein.


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Grenzwert von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:53 So 14.12.2008
Autor: Ikit


> Jetzt mußt Du aber erst
>  
> [mm]\summe_{j=0}^{k}\left(2j-1\right)[/mm]
>  
> berechnen, da diese Summe auch von k abhängt.
>  
> Einsetzen und nach einer Umformung kommt dann die "+1" zum
> Vorschein.




Aber nach dem was Fulla gepostet hat, ist $ [mm] \summe_{j=0}^{k}\left(2j-1\right) [/mm] $ ja [mm] k^{2} [/mm] und dann weiß ich immer noch nicht wie eine + 1 zum Vorschein kommt. Genau da war ja mein Problem beim Cauchy Produkt, dass ich nicht wusste wie ich $ [mm] \summe_{j=0}^{k}\left(2j-1\right) [/mm] $ berechnen soll. Hmm...


Bezug
                        
Bezug
Grenzwert von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:43 So 14.12.2008
Autor: MathePower

Hallo lkit,

> > Jetzt mußt Du aber erst
>  >  
> > [mm]\summe_{j=0}^{k}\left(2j-1\right)[/mm]

>  >  
> > berechnen, da diese Summe auch von k abhängt.
>  >  
> > Einsetzen und nach einer Umformung kommt dann die "+1" zum
> > Vorschein.
>  
>
>
>
> Aber nach dem was Fulla gepostet hat, ist
> [mm]\summe_{j=0}^{k}\left(2j-1\right)[/mm] ja [mm]k^{2}[/mm] und dann weiß
> ich immer noch nicht wie eine + 1 zum Vorschein kommt.
> Genau da war ja mein Problem beim Cauchy Produkt, dass ich
> nicht wusste wie ich [mm]\summe_{j=0}^{k}\left(2j-1\right)[/mm]
> berechnen soll. Hmm...
>  

Das kannst Du auch selbst nachrechnen:

[mm]\summe_{j=0}^{k}\left(2j-1\right)=2*\summe_{j=0}^{k}j-\summe_{j=0}^{k}1[/mm]

[mm]=2*\bruch{k*\left(k+1\right)}{2}-\left(k+1\right)=k*\left(k+1\right)-\left(k+1\right) \not= k^{2}[/mm]


Das wir richtig, wenn da stünde:

[mm]\summe_{j= 1 }^{k}\left(2j-1\right)=k^{2}[/mm]


Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Grenzwert von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:11 So 14.12.2008
Autor: Ikit

Danke soweit.

Ich rechne also weiter und komme auf:

[mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} (k^{2} [/mm] + 1) = [mm] \bruch{2s}{1-q} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(1-q)^{2}} [/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} k^{2} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} [/mm] = [mm] \bruch{2s}{1-q} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(1-q)^{2}} [/mm]
[mm] (\summe_{k=0}^{\infty} q^{k} k^{2}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] = [mm] \bruch{2s}{1-q} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(1-q)^{2}} [/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} k^{2} [/mm] = [mm] \bruch{2s}{1-q} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(1-q)^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} k^{2} [/mm] = [mm] \bruch{2s-1}{1-q} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(1-q)^{2}} [/mm]

was leider wieder falsch ist :(
Wo liegt denn diesmal mein Fehler wieder?

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:56 Mo 15.12.2008
Autor: MathePower

Hallo lkit,

> Danke soweit.
>  
> Ich rechne also weiter und komme auf:
>  
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} q^{k} (k^{2}[/mm] + 1) = [mm]\bruch{2s}{1-q}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{(1-q)^{2}}[/mm]
>  [mm]\summe_{k=0}^{\infty} q^{k} k^{2}[/mm] + [mm]\summe_{k=0}^{\infty} q^{k}[/mm]
> = [mm]\bruch{2s}{1-q}[/mm] - [mm]\bruch{1}{(1-q)^{2}}[/mm]
>  [mm](\summe_{k=0}^{\infty} q^{k} k^{2})[/mm] + [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm] =
> [mm]\bruch{2s}{1-q}[/mm] - [mm]\bruch{1}{(1-q)^{2}}[/mm]
>  [mm]\summe_{k=0}^{\infty} q^{k} k^{2}[/mm] = [mm]\bruch{2s}{1-q}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{(1-q)^{2}}[/mm] - [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm]
>  [mm]\summe_{k=0}^{\infty} q^{k} k^{2}[/mm] = [mm]\bruch{2s-1}{1-q}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{(1-q)^{2}}[/mm]
>  
> was leider wieder falsch ist :(
>  Wo liegt denn diesmal mein Fehler wieder?


Du mußt diese Summe ausrechnen:

[mm]\summe_{k=0}^{\infty} q^{k} (k^{2}\red{-} 1)[/mm]


Gruß
MathePower

Bezug
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