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Hier weitere Grenzwertaufgaben:
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Folgen [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] auf Konvergenz bzw. Divergenz
und bestimmen Sie im Konvergenzfall den Grenzwert für [mm] n\to\infty, [/mm] wobei
[mm] a_n= \summe_{i=0}^{n}(\bruch{1}{3})^{i}
[/mm]
[mm] b_n= \bruch{(\wurzel{n})^{-1}+1}{2\wurzel{5}+5^{-n}}
[/mm]
Es sei k [mm] \in \IN [/mm] und [mm] r_i,s_i(0\lei\lek) [/mm] seien fest vorgegebene reelle Zahlen mit [mm] s_k\not=0. [/mm] Weiter sei [mm] s_0+s_1n+...+s_kn^{k} \not=0 [/mm] für jedes n [mm] \in \IN.
[/mm]
Untersuchen Sie die Folge [mm] (c_n) [/mm] mit:
[mm] c_n= \bruch{r_0+r_1n+...+r_kn^{k}}{s_0+s_1n+...+s_kn^{k}}
[/mm]
auf Konvergenz bzw Divergenz und bestimmen Sie im Konvergenzfall den Grenzwert für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Hinweis: Fallunterscheidung! |
[mm] a_n= \summe_{i=0}^{n}(\bruch{1}{3})^{i}= 1+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{9}+\bruch{1}{27}+...+\bruch{1}{3^{n}}
[/mm]
Hier komme ich nicht weiter.
[mm] b_n= \bruch{(\wurzel{n})^{-1}+1}{2\wurzel{5}+5^{-n}}= \bruch{\bruch{1}{\wurzel{n}}+1}{2\wurzel{5}+\bruch{1}{5^{n}}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] geht gegen Null
[mm] \bruch{1}{5^{n}} [/mm] geht gegen Null
also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{5}} [/mm]
[mm] c_n= \bruch{r_0+r_1n+...+r_kn^{k}}{s_0+s_1n+...+s_kn^{k}} [/mm] = [mm] \bruch{n^{k}*(\bruch{r_0}{n^{k}}+\bruch{r_1n}{n^{k}}+...+r_k)}{n^{k}*(\bruch{s_0}{n^{k}}+\bruch{s_1n}{n^{k}}+...+s_k)}
[/mm]
Müsste ja [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}c_n= \bruch{r_k}{s_k} [/mm] sein.
Aber wo soll jetzt eine Fallunterscheidung stattfinden?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 Fr 26.04.2013 | | Autor: | abakus |
> Hier weitere Grenzwertaufgaben:
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> Untersuchen Sie die Folgen [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] auf Konvergenz
> bzw. Divergenz
> und bestimmen Sie im Konvergenzfall den Grenzwert für
> [mm]n\to\infty,[/mm] wobei
>
> [mm]a_n= \summe_{i=0}^{n}(\bruch{1}{3})^{i}[/mm]
>
> [mm]b_n= \bruch{(\wurzel{n})^{-1}+1}{2\wurzel{5}+5^{-n}}[/mm]
>
> Es sei k [mm]\in \IN[/mm] und [mm]r_i%2Cs_i(0%5Clei%5Clek)[/mm] seien fest
> vorgegebene reelle Zahlen mit [mm]s_k\not=0.[/mm] Weiter sei
> [mm]s_0 s_1n ... s_kn^{k} \not=0[/mm] für jedes n [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Untersuchen Sie die Folge [mm](c_n)[/mm] mit:
>
> [mm]c_n= \bruch{r_0 r_1n ... r_kn^{k}}{s_0 s_1n ... s_kn^{k}}[/mm]
>
> auf Konvergenz bzw Divergenz und bestimmen Sie im
> Konvergenzfall den Grenzwert für n [mm]\to \infty.[/mm]
> Hinweis:
> Fallunterscheidung!
>
> [mm]a_n= \summe_{i=0}^{n}(\bruch{1}{3})^{i}= 1 \bruch{1}{3} \bruch{1}{9} \bruch{1}{27} ... \bruch{1}{3^{n}}[/mm]
>
> Hier komme ich nicht weiter.
Dafür gibt es eine feste Summenformel.
>
> [mm]b_n= \bruch{(\wurzel{n})^{-1}+1}{2\wurzel{5}+5^{-n}}= \bruch{\bruch{1}{\wurzel{n}}+1}{2\wurzel{5}+\bruch{1}{5^{n}}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm] geht gegen Null
> [mm]\bruch{1}{5^{n}}[/mm] geht gegen Null
> [mm]2\wurzel{5}[/mm] geht gegen [mm]\infty[/mm]
Das ist Unfug. [mm] $2*\sqrt{5}$ [/mm] ist ein sehr konkreter (und sehr konstanter) Wert.
>
> also [mm]\bruch{1}{\infty}[/mm] = 0
>
> [mm]c_n= \bruch{r_0 r_1n ... r_kn^{k}}{s_0 s_1n ... s_kn^{k}}[/mm] =
> [mm]\bruch{n^{k}*(\bruch{r_0}{n^{k}} \bruch{r_1n}{n^{k}} ... r_k)}{n^{k}*(\bruch{s_0}{n^{k}} \bruch{s_1n}{n^{k}} ... s_k)}[/mm]
>
> Müsste ja für n [mm]\to \infty \bruch{r_k}{s_k}[/mm]
> übrigbleiben.
>
> Aber wo soll jetzt eine Fallunterscheidung stattfinden?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Fr 26.04.2013 | | Autor: | MatheDell |
> > Hier weitere Grenzwertaufgaben:
> >
> > Untersuchen Sie die Folgen [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] auf
> Konvergenz
> > bzw. Divergenz
> > und bestimmen Sie im Konvergenzfall den Grenzwert für
> > [mm]n\to\infty,[/mm] wobei
> >
> > [mm]a_n= \summe_{i=0}^{n}(\bruch{1}{3})^{i}[/mm]
> >
> > [mm]b_n= \bruch{(\wurzel{n})^{-1}+1}{2\wurzel{5}+5^{-n}}[/mm]
> >
> > Es sei k [mm]\in \IN[/mm] und [mm]r_i%2Cs_i(0%5Clei%5Clek)[/mm] seien
> fest
> > vorgegebene reelle Zahlen mit [mm]s_k\not=0.[/mm] Weiter sei
> > [mm]s_0 s_1n ... s_kn^{k} \not=0[/mm] für jedes n [mm]\in \IN.[/mm]
> >
> > Untersuchen Sie die Folge [mm](c_n)[/mm] mit:
> >
> > [mm]c_n= \bruch{r_0 r_1n ... r_kn^{k}}{s_0 s_1n ... s_kn^{k}}[/mm]
>
> >
> > auf Konvergenz bzw Divergenz und bestimmen Sie im
> > Konvergenzfall den Grenzwert für n [mm]\to \infty.[/mm]
> >
> Hinweis:
> > Fallunterscheidung!
> >
> > [mm]a_n= \summe_{i=0}^{n}(\bruch{1}{3})^{i}= 1 \bruch{1}{3} \bruch{1}{9} \bruch{1}{27} ... \bruch{1}{3^{n}}[/mm]
>
> >
> > Hier komme ich nicht weiter.
> Dafür gibt es eine feste Summenformel.
> >
> > [mm]b_n= \bruch{(\wurzel{n})^{-1}+1}{2\wurzel{5}+5^{-n}}= \bruch{\bruch{1}{\wurzel{n}}+1}{2\wurzel{5}+\bruch{1}{5^{n}}}[/mm]
>
> >
> > [mm]\bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm] geht gegen Null
> > [mm]\bruch{1}{5^{n}}[/mm] geht gegen Null
> > [mm]2\wurzel{5}[/mm] geht gegen [mm]\infty[/mm]
> Das ist Unfug. [mm]2*\sqrt{5}[/mm] ist ein sehr konkreter (und sehr
> konstanter) Wert.
Stimmt.
> >
> > also [mm]\bruch{1}{\infty}[/mm] = 0
> >
> > [mm]c_n= \bruch{r_0 r_1n ... r_kn^{k}}{s_0 s_1n ... s_kn^{k}}[/mm]
> =
> > [mm]\bruch{n^{k}*(\bruch{r_0}{n^{k}} \bruch{r_1n}{n^{k}} ... r_k)}{n^{k}*(\bruch{s_0}{n^{k}} \bruch{s_1n}{n^{k}} ... s_k)}[/mm]
>
> >
> > Müsste ja für n [mm]\to \infty \bruch{r_k}{s_k}[/mm]
> >
> übrigbleiben.
> >
> > Aber wo soll jetzt eine Fallunterscheidung stattfinden?
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