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| Aufgabe | Sind folgende Folgen konvergent? Wenn ja wie lautet der Grenzwert?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{17}{n}+\bruch{2^n}{n!}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-5)^n+3^n}{(-5)^{n+1}+3^{n+1}}
[/mm]
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Beim ersten Beispiel, weiss ich:
dass 0 der Grenzwert ist. n! wächst schneller als [mm] 2^n.
[/mm]
den ersten Ausdruck kann ich auch wegfallen lassen, da dieser Ausdruck 0 wird.
Habe mir jetzt überlegt, dass ich irgendwie das n von [mm] 2^n [/mm] mit ln herunter bekomme. weiss aber nicht, ob ich das so einfach gemacht werden darf.
Beim 2ten Beispiel weiß ich nur,dass der Gesamte Ausdruck negativ wird, da immer eine Division durch +/- bzw -/+ ist.
würde mich freuen, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen kann.
gruss polo
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Do 26.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo markopolo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Den 2. Bruch der ersten Folge kannst Du ja wie folgt zerlegen:
[mm] $\bruch{2^n}{n!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\overbrace{2*2*2*...*2}^{\text{n Faktoren}}}{\underbrace{1*2*3*...*n}_{\text{n Faktoren}}} [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{\bruch{2}{1}*\bruch{2}{2}*\bruch{2}{3}*...*\bruch{2}{n}}_{\text{n Faktoren}} [/mm] \ = \ ...$
Wogegen strebt nun der allerletzte Bruch und damit auch das gesamte Produkt?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:54 Do 26.10.2006 | | Autor: | markopolo |
... an das habe ich nicht gedacht
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Do 26.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo markopolo!
Das Stichwort der 2. Folge heißt "Ausklammern"!
Und zwar im Zähler den Term [mm] $(-5)^n$ [/mm] und im Nenner [mm] $(-5)^{n+1}$ [/mm] .
Nach dem Kürzen und der entsprechenden Grenzwertbetrachtung solltest Du dann den Grenzwert [mm] $-\bruch{1}{5}$ [/mm] erhalten.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:02 Do 26.10.2006 | | Autor: | markopolo |
Wenn ich das Ausklammere dann kommt
[mm] \bruch{(-5)^n*(1+\bruch{3^n}{(-5)^n})}{(-5)^{n+1}*(1+\bruch{3^{n+1}}{(-5)^{n+1}})} [/mm] raus
Wie sehe ich jetz, wenn ich den grenzwert bilde, dass da -1/5 rauskommt?
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[mm] \bruch{(-5)^n}{(-5)^{n+1}} [/mm] ergibt bereits die [mm] \bruch{1}{-5}?
[/mm]
und beim zweiten teil kommt [mm] \bruch{1}{1} [/mm] raus, weil [mm] \bruch{3^n}{(-5)^n}=0 [/mm] weil [mm] (-5)^n [/mm] schneller wachst als [mm] 3^n?!
[/mm]
Habe ich das so richtig verstanden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:01 Fr 27.10.2006 | | Autor: | markopolo |
Danke
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Potenzgesetze![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Genau, Du kannst auch umschreiben zu: [mm] $\bruch{3^n}{(-5)^n} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{3}{-5}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \left(-\bruch{3}{5}\right)^n$
[/mm]