Grenzwert v. unendlicher Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Benja91 |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert folgender Reihe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] 1 * [mm] \bruch{1}{(n+5)*(n+7)} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt:
Hallo,
ich muss den Grenzwert der obigen Reihe berechnen. Die hinreichende Bedingung, dass es sich bei S um eine Nullfolge handelt ist ja erfüllt. Doch wie berechne ich nun den Grenzwert genau. Ich müsste eigentlich das Cauchy Konvergenz Kriterium verwenden, aber ich weiß nicht, wie ich dieses hier anwenden soll.
Vielen Dank für eure Hilfe
Benja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Benja!
Zerlege den Bruch mittels Partialbruchzerlegung. Damit entsteht eine sogenannte "Teleskopsumme", bei der sich fast alle Summanden eliminieren.
[mm]\bruch{1}{(n+5)*(n+7)} \ = \ \bruch{A}{n+5}+\bruch{B}{n+7}[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Do 16.12.2010 | | Autor: | Benja91 |
Hallo Loddar,
schon einmal vielen Dank für die Antwort. Aber wie mache ich hier genau die Partialbruchzerlegung?
Außerdem ist mir die generelle Herangehensweise nicht klar, wenn man den Grenzwert von unendlichen Reihen berechnen soll.
Vielen Dank für eure Hilfe
Lg
Benja
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Hallo Benja91,
> Hallo Loddar,
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> schon einmal vielen Dank für die Antwort. Aber wie mache
> ich hier genau die Partialbruchzerlegung?
> Außerdem ist mir die generelle Herangehensweise nicht
> klar, wenn man den Grenzwert von unendlichen Reihen
> berechnen soll.
Nun, der Grenzwert der Reihe oder der Reihenwert einer Reihe [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k[/mm] ist ja definiert als Grenzwert der Partialsummenfolge [mm](S_n)_{n\in\IN}=\left( \ \sum\limits_{k=0}^{n}a_k \ \right)_{n\in\IN}[/mm]
Also [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=0}^{n}a_k[/mm]
Aus diesem Grunde macht man hier eine Partialbruchzerlegung.
Die Partialsummen sind sog. Teleskopsummen, in denen sich das meiste weghebt.
Das schreibt man sich hin, schaut, was übrig bleibt und lässt [mm]n\to\infty[/mm] gehen. Damit hat man den Wert der Reihe.
Der Ansatz für die PBZ ist - wie mein Vorredner schon erwähnt hat -
[mm]\frac{1}{(n+5)\cdot{}(n+7)}=\frac{A}{n+5}+\frac{B}{n+7}[/mm]
Damit kannt du nämlich das olle Produkt "schön" als Summe schreiben (Teleskopsumme)
Die Koeffizienten [mm]A,B[/mm] bestimme, indem du rechterhand gleichnamig machst, im Zähler dann nach Potenzen von [mm]n[/mm] sortierst und schließlich einen Koeffizientenvergleich mit dem Zähler linkerhand, also mit [mm]1=\red{0}\cdot{}n+\blue{1}[/mm] machst ...
>
> Vielen Dank für eure Hilfe
> Lg
> Benja
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Benja91 |
Danke für die ausführliche Antwort. Diese hat mir schonmal sehr geholfen :)
Ich habe jetzt für A = 1/2 und für B=-1/2 und verstehe auch, dass es sich um eine Teleskopsumme handelt. Am Anfang bleibt ja immer stehen: [mm] \bruch{\bruch{1}{2}}{6}+\bruch{\bruch{1}{2}}{7} [/mm] .
Aber wie kann ich das Ende der Reihe in Abhängigkeit von dem n darstellen?
Danke für eure Antworten :)
Lg
Benja
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Hallo Benja,
was für ein "Ende" der Reihe? n soll doch gegen [mm] \infty [/mm] laufen.
Deine Zerlegung ist richtig, und auch das Ergebnis stimmt: es bleiben nur zwei Anfangsglieder übrig, der ganze Rest hebt sich weg.
Die Summe dieser beiden Anfangsglieder ist dann der gesuchte Grenzwert [mm] \tfrac{13}{84}
[/mm]
Grüße
reverend
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Hallo,
nur der Pingeligkeit wegen:
> Hallo Benja,
>
> was für ein "Ende" der Reihe? n soll doch gegen [mm]\infty[/mm]
> laufen.
>
> Deine Zerlegung ist richtig, und auch das Ergebnis stimmt:
> es bleiben nur zwei Anfangsglieder übrig, der ganze Rest
> hebt sich weg.
Es bleiben noch zwei "hintere" Summanden übrig, die dann im Grenzprozess [mm]n\to\infty[/mm] gegen 0 gehen ...
Welche Summanden genau übrig bleiben, sieht man schnell mit einer kleinen Indexverschiebung ein.
>
> Die Summe dieser beiden Anfangsglieder ist dann der
> gesuchte Grenzwert [mm]\tfrac{13}{84}[/mm]
>
> Grüße
> reverend
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Benja91 |
Hallo reverend,
danke für deine Antwort. Ich hatte ganz vergessen, dass die Reihe geg unendlich geht :)
Nun habe ich noch eine weitere unendliche Reihe von der ich den Grenzwert bestimmen soll. Sie sieht folgendermaßen aus:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{1+2+3+...+n}
[/mm]
Wie muss ich an eine solche Aufgabe herangehen? Mir ist hier auch irgendwie nicht klar, wie dies ersten Folgeglieder der Reihe sind... Sind es: [mm] \bruch{1}{1}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{6} [/mm] ?
Nochmal danke für die super Antworten,
Gruss
Benja
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Hallo Benja,
ich habe Deine Frage mal ein bisschen verschoben, weil sie ja eine neue Aufgabe beinhaltet.
> Nun habe ich noch eine weitere unendliche Reihe von der ich
> den Grenzwert bestimmen soll. Sie sieht folgendermaßen
> aus:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{1+2+3+...+n}[/mm]
> Wie muss ich an eine solche Aufgabe herangehen? Mir ist
> hier auch irgendwie nicht klar, wie dies ersten
> Folgeglieder der Reihe sind... Sind es:
> [mm]\bruch{1}{1}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{6}[/mm] ?
Ja, das ist schonmal richtig. Im Nenner stehen die ![[]](/images/popup.gif) Dreieckszahlen.
Die haben eine bekannte Summenformel oder sind als Binomiankoeffizient darstellbar, beides steht im verlinkten Artikel.
Damit kannst Du Deine Summe erst einmal in eine schöne geschlossene Form bringen. Und siehe da, auch hier bietet sich eine Partialbruchzerlegung an.
> Nochmal danke für die super Antworten,
Ach, wir haben auch schlechtere Tage. Ich zumindest. 
> Gruss
> Benja
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Benja91 |
Danke reverend :) Jetzt hab ich alles verstanden.
Lg
Benja
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