Grenzwert unendlicher Reihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:57 Mo 06.12.2004 | | Autor: | dev.urandom |
Hi Leute,
ich habe nachdem ich mir ein paar stunden den kopf zerbrochen habe schon ausgiebig gesucht und gegoogled, aber leider absolut nichts gefunden.
Die Frage ist relativ schnell gestellt:
Es gelte: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}{a_n}=a
[/mm]
Man zeige, dass dann gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_1+...+a_n}{n}=a
[/mm]
Ich habs echt versucht und muss die Übung morgen abgeben. Ich wäre über jede Hilfe sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mfg
dev.urandom
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
> Hi Leute,
> ich habe nachdem ich mir ein paar stunden den kopf
> zerbrochen habe schon ausgiebig gesucht und gegoogled, aber
> leider absolut nichts gefunden.
> Die Frage ist relativ schnell gestellt:
>
> Es gelte: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}{a_n}=a
[/mm]
>
> Man zeige, dass dann gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_1+...+a_n}{n}=a
[/mm]
>
> Ich habs echt versucht und muss die Übung morgen abgeben.
> Ich wäre über jede Hilfe sehr dankbar.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Mfg
> dev.urandom
>
Dann mache es doch uns einfacher und erhöhe deine Chancen, eine Antwort zu bekommen, indem du deine Ansätze hier einfach mal erwähnst/erklärst. Vielleicht führt ja einer weiter!
Viele Grüße
Astrid
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:17 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Wir fangen mal an. Es sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig gewählt. Dann sei [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] so gewählt, dass für alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt:
[mm] $|a_n [/mm] - a| < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Nun gilt für alle $n [mm] \in \IN$, [/mm] $n [mm] \ge n_0$:
[/mm]
[mm] $\left\vert \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} - a \right\vert$
[/mm]
$= [mm] \left\vert \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n-na}{n} \right\vert$
[/mm]
[mm] $\le \frac{\sum\limits_{i=0}^{n_0} |a_i - a|}{n} [/mm] + [mm] \frac{\sum\limits_{i=n_0+1}^n |a_i - a|}{n}$
[/mm]
[mm] $\le \frac{\sum\limits_{i=0}^{n_0} |a_i - a|}{n} [/mm] + [mm] \frac{(n-n_0) \cdot \varepsilon}{n}$
[/mm]
Hast du eine Idee, wie man den Beweis jetzt zu Ende führen könnte? 
Dann teile sie uns bitte mit.
Liebe Grüße
Stefan
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Hi,
ich hatte es nicht ganz so versucht, aber durchaus ähnlich. und zwar dahingehend, dass man die Summe innerhalb des limes umformt und aufspaltet derart, dass man zunächst die summe von 1 bis [mm] n_e [/mm] bildet, und danach von [mm] n_e [/mm] bis n, wobei [mm] n_e [/mm] die von dir als [mm] n_o [/mm] bezeichnete natürliche zahl ist, ab der alle folgeglieder von [mm] a_n [/mm] innerhalb der [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] liegen.
Der Ausdruck, den du hergeleitet hast, muss, damit er gegen a konvertiert, kleiner sein als [mm] \varepsilon. [/mm] Also:
[mm] \frac{\summe_{i=1}^{n_0}{|a_i-a|}}{n} [/mm] + [mm] \frac{(n-n_0)\cdot \varepsilon}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
meine unsicherheit ist einfach die: ich will ja einen zusammenhang zwischen [mm] \varepsilon [/mm] und einem N [mm] \in \IN [/mm] konstruieren, ab dem der betrag
der differenz meiner reihe und dem (zu zeigenden) Grenzwert a kleiner als [mm] \epsilon [/mm] ist.
und eben diese konstruktion krieg ich nich wirklich hin, ich probier weiterhin seit 4 stunden an ner anderen aufgabe rum, keiner meiner kommilitonen weiß rat, also.. es sieht kacke aus. wenn du mir nen gefallen tun willst, dann sagst du mir einfach den kniff, ich kümmer mich das nächste mal bestimmt früher darum, die zeit drängt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:35 Di 07.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo RhibA¹3ðà<8D>=©OCâtÑ<84>ý=&<9D>Ðe^A<91>½c¨S§àÀ´!
> ich hatte es nicht ganz so versucht, aber durchaus
> ähnlich. und zwar dahingehend, dass man die Summe innerhalb
> des limes umformt und aufspaltet derart, dass man zunächst
> die summe von 1 bis [mm]n_e[/mm] bildet, und danach von [mm]n_e[/mm] bis n,
> wobei [mm]n_e[/mm] die von dir als [mm]n_o[/mm] bezeichnete natürliche zahl
> ist, ab der alle folgeglieder von [mm]a_n[/mm] innerhalb der
> [mm]\varepsilon-Umgebung[/mm] liegen.
>
> Der Ausdruck, den du hergeleitet hast, muss, damit er gegen
> a konvertiert, kleiner sein als [mm]\varepsilon.[/mm] Also:
> [mm]\frac{\summe_{i=1}^{n_0}{|a_i-a|}}{n}[/mm] + [mm]\frac{(n-n_0)\cdot \varepsilon}{n}[/mm]
> < [mm]\varepsilon
[/mm]
Ja, es muß ja aber nicht genau dieses [mm] $\varepsilon$ [/mm] sein, das Stefan gewählt hat.
Sei [mm] $\varepsilon_2>0$ [/mm] beliebig.
Dann setze ich [mm] $\varepsilon:=\varepsilon_2/3$ [/mm] und führe Stefans Beweis bis an das Ende seiner Ausführungen, also
[mm]\frac{\summe_{i=1}^{n_0}{|a_i-a|}}{n} + \frac{(n-n_0)\cdot \varepsilon}{n}[/mm]
Nun gilt weiter:
[mm]=\frac{\summe_{i=1}^{n_0}{|a_i-a|}}{n} + \varepsilon -\bruch{n_0}{n}*\varepsilon[/mm]
[mm]\le\frac{\summe_{i=1}^{n_0}{|a_i-a|}}{n} + \varepsilon +\bruch{n_0}{n}*\varepsilon[/mm]
[mm]\le\frac{\summe_{i=1}^{n_0}{|a_i-a|}}{n} + \varepsilon +\varepsilon[/mm] (da [mm] $\bruch{n_0}{n}\le [/mm] 1$)
Nun wähle ich [mm] $N_0\ge n_0$ [/mm] so, dass [mm] $\frac{\summe_{i=1}^{n_0}{|a_i-a|}}{N_0}<\varepsilon$ [/mm] (das geht, weil [mm] $\summe_{i=1}^{n_0}{|a_i-a|}$ [/mm] innerhalb unserer Betrachtung eine feste endliche Zahl ist)
[mm]\le\varepsilon + \varepsilon +\varepsilon[/mm]
[mm]=\varepsilon_2/3 + \varepsilon_2/3 +\varepsilon_2/3[/mm]
[mm] $=\varepsilon_2$
[/mm]
Für alle [mm] $n\ge N_0$ [/mm] gilt [mm] $\left|\summe_{i=1}{n}\bruch{a_1+\ldots+a_n}{n}-a\right|<\varepsilon_2$
[/mm]
Bin gespannt, ob Stefan diesen Gedankenganz im Sinn hatte, mein Anhängsel ist durch die Einführung von [mm] $\varepsilon_2$ [/mm] nämlich etwas unschön geworden. Eine schöne Lösung also morgen von Stefan
Viele Grüße,
Marc
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hi marc,
vielen dank, ich hab mittlerweile Stefans ansatz etwas modifiziert zu
[mm] |a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2} [/mm] und damit weitergemacht. ich hing dann nur noch an dem Schritt, in dem du [mm] N_0 \in \IN [/mm] gewählt hast.
auf jeden fall mach ich aus [mm] \frac{\varepsilon}{2} [/mm] einfach [mm] \frac{\varepsilon}{3} [/mm] und es passt. Vielen Dank, dass du dir die Zeit genommen hast.
Ich muss sagen, dass ich bei diesem Beweis wirklich etwas dazugelernt habe (im Ggs. zur Vorlesung, in der von vornherein die richtigen Annahmen getroffen werden), weil du quasi nen halben Beweis, wenn auch (wie du sagst) etwas "unschön", fertiggestellt hast.
Danke auf jeden Fall und gute Nacht =)
dev.urandom
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:48 Di 07.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Marc!
Zunächst einmal vielen Dank, dass du dich um die Aufgabe gekümmert hast. Ich habe an deinem Post etwas editiert (damit der Fragesteller vielleicht noch rechtzeitig darauf aufmerksam wird; du meintest es auf jeden Fall so, wie ich es jetzt hingeschrieben habe; schau es dir vielleicht mal an).
> [mm]\frac{\summe_{i=1}^{n_0}{|a_i-a|}}{n} + \frac{(n-n_0)\cdot \varepsilon}{n}[/mm]
Hier hatte ich im Sinn, wegen
[mm] $\frac{n-n_0}{n} [/mm] < 1$
den zweiten Summanden durch [mm] $\varepsilon$ [/mm] abzuschätzen (und dann wie du den ersten ebenfalls durch [mm] $\epsilon$). [/mm] Dann hat man am Schluss etwas dastehen wie [mm] $<2\varepsilon$ [/mm] (und kann dann aus ästhetischen Gesichtspunkten  anschließend überall [mm] $\varepsilon$ [/mm] durch [mm] $\frac{\varepsilon}{2}$ [/mm] ersetzen, klar).
Liebe Grüße
Stefan
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