Grenzwert unendlich Wurzel < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:39 Mo 17.01.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | [mm] $\limes_{x\rightarrow \infty}x(\sqrt[x]{a}-1)$ [/mm] |
Hallo,
also das ist von der Form [mm] \infty\cdot [/mm] 0 also kann ich h'opital anwenden.
[mm] ${\textstyle a^{\frac{1}{x}}:=exp(\frac{log(a)}{x}) := p}$ [/mm]
[mm] $\limes_{x\rightarrow \infty} \frac{(p-1)}{\frac{1}{x}}$ [/mm] h'opital
[mm] p'=-x^{-2}log(a)exp(\frac{log(a)}{x})
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow \infty} \frac{-x^{-2}log(a)exp(\frac{log(a)}{x})}{-x^{-2}}= \limes_{x\rightarrow \infty} 1log(a)a^{\frac{1}{x}}=log(a)
[/mm]
Ist das richtig so?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Grüsse
kushkush
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> [mm]\limes_{x\rightarrow \infty}x(\sqrt[n]{a}-1)[/mm]
> Hallo,
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also jenseits der weihnachtsinsel, also in deutschland zum beispiel, ergibt x mal irgendne konstante (mit x gegen unendlich) auch wieder unendlich.
und was danach folgt sieht grausig aus, aber für die klasse 1 ist es eigentlich schon wieder gut
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> also das ist von der Form [mm]\infty\cdot[/mm] 0 also kann ich
> h'opital anwenden.
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> [mm]{\textstyle a^{\frac{1}{n}}:=exp(\frac{log(a)}{x}) := p}[/mm]
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> [mm]\limes_{x\rightarrow \infty} \frac{(p-1)}{\frac{1}{x}}[/mm]
> h'opital
>
> [mm]p'=-x^{-2}log(a)exp(\frac{log(a)}{x})[/mm]
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> [mm]\Rightarrow \limes_{x\rightarrow \infty} \frac{-x^{-2}log(a)exp(\frac{log(a)}{x})}{-x^{-2}}= \limes_{x\rightarrow \infty} 1log(a)a^{\frac{1}{x}}=log(a)[/mm]
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> Ist das richtig so?
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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>
> Danke und Grüsse
>
> kushkush
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 Mo 17.01.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
Ja, der Beweis für [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{x}=1 [/mm] war so geschrieben, darum habe ich das n mit dem x verwechselt.
Ich hab's korrigiert. Stimmt meine Lösung?
Danke und Gruss
kushkush
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> Hallo,
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> Ja, der Beweis für [mm]\limes_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{x}=1[/mm]
> war so geschrieben, darum habe ich das n mit dem x
> verwechselt.
> Ich hab's korrigiert. Stimmt meine Lösung?
ja! es geht jedoch schneller wenn du VOR der anwendung der regel von de l'hospital erkennst, dass du im nenner ein 1/x hast, und im exponenten im zähler auch. wenn du dann z=1/x substituierst, bist du schneller fertig, da das ableiten ruckzuck geht
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> Danke und Gruss
>
> kushkush
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:22 Mo 17.01.2011 | | Autor: | kushkush |
Ok, dankeschön!
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:10 Di 18.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Setzt man t=1/x, so ist der Grenzwert
[mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{a^t-1}{t}
[/mm]
zu berechnen. Setzt man f(t):= [mm] a^t, [/mm] so ist
[mm] \bruch{a^t-1}{t}= \bruch{f(t)-f(0)}{t-0},
[/mm]
ein Differenzenquotient ! Da auf den Weihnachtsinseln schon in Klasse 1 der Grundschule Differentialrechnung unterrichtet wird, wird es Dir ein leichtes sein obigen Grenzwert zu berechnen !
FRED
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