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| Aufgabe | Man brechne die folgenden Grenzwerte.
[mm] \pmb{2+x\sqrt{1+\frac{4}{x^2}}}\ [/mm]
für [mm] \alpha \to [/mm] +0 ; [mm] \beta \to [/mm] -0 |
Guten Abend,
Ich habe die Frage in keinen anderen Forum gepostet.
in meinem Studiumsheft habe ich folgenden Hinweis:
[mm] \pmb{2+x\sqrt{1+\frac{4}{x^2}}=2+\frac{x}{|x|}\sqrt{x^2+4}}\
[/mm]
Wenn das stimmt und ich setzt die plus und munis 0 ein und rechne damit wie mit normalen Zahlen komme ich auch auf das Ergebniss aber die Division durch Null lass ich da völlig weg.
1. Frage wie kommt der Hinweis zu stande, das habe ich noch nie gesehen.
2. Wie gehe ich dann weiter vor?
herzlichen Dank
Sascha Fleischer
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> Man brechne die folgenden Grenzwerte.
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> [mm]\pmb{2+x\sqrt{1+\frac{4}{x^2}}}\[/mm]
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> für [mm]\alpha \to[/mm] +0 ; [mm]\beta \to[/mm] -0
> Guten Abend,
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> Ich habe die Frage in keinen anderen Forum gepostet.
>
> in meinem Studiumsheft habe ich folgenden Hinweis:
>
> [mm]\pmb{2+x\sqrt{1+\frac{4}{x^2}}=2+\frac{x}{|x|}\sqrt{x^2+4}}\[/mm]
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> Wenn das stimmt und ich setzt die plus und munis 0 ein und
> rechne damit wie mit normalen Zahlen komme ich auch auf das
> Ergebnis aber die Division durch Null lass ich da völlig
> weg.
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> 1. Frage wie kommt der Hinweis zu stande, das habe ich noch
> nie gesehen.
Also für [mm] $x\neq [/mm] 0$ ist es eine rein algebraische Umformung. Ich machs mal in etwas kleineren Schritten:
[mm]\begin{array}{rcl}
2+x\sqrt{1+\frac{4}{x^2}} &=& 2+x\sqrt{\frac{x^2+4}{x^2}}\\[.2cm]
&=& 2+x\frac{\sqrt{x^2+4}}{\sqrt{x^2}}\\[.2cm]
&=& 2+x\frac{\sqrt{x^2+4}}{|x|}\\[.2cm]
&=& 2+\frac{x}{|x|}\sqrt{x^2+4}
\end{array}
[/mm]
> 2. Wie gehe ich dann weiter vor?
Durch diese schlaue erste, rein algebraische Umformung ist gewissermassen der komplizierende Einfluss der Quadratwurzel eliminiert worden: denn die Funktion [mm] $x\mapsto \sqrt{x^2+4}$ [/mm] ist überall, also insbesondere an der hier besonders interessierenden Stelle $x=0$ stetig. D.h. es gilt: [mm] $\lim_{x\rightarrow 0\pm} \sqrt{x^2+4}=\sqrt{\big(\lim_{x\rightarrow 0\pm} x\big)^2+4}=\sqrt{0^2+4}=2$.
[/mm]
Nun muss man nur doch das Verhalten des verbleibenden, für die Grenzübergänge [mm] $x\rightarrow 0\pm$ [/mm] problematischen Terms [mm] $\frac{x}{|x|}$ [/mm] verstehen. Wegen [mm] $\big|\frac{x}{|x|}\big|=\frac{|x|}{|x|}=1$ [/mm] (für alle [mm] $x\neq [/mm] 0$) ist nur das Vorzeichen dieses Quotienten von der Richtung abhängig, von der her wir uns beim Grenzprozess $0$ nähern: es ist [mm] $\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{x}{|x|}=+1$, [/mm] aber [mm] $\lim_{x\rightarrow 0-}\frac{x}{|x|}=-1$.
[/mm]
Du kannst also den Limes über die harmlosen Terme hinweg bis zum fraglichen, noch einzigen kritischen Term für diesen Grenzübergang hineinschieben:
[mm]\begin{array}{rcl}
\lim_{x\rightarrow 0+}\big(2+x\sqrt{1+\frac{4}{x^2}}\big) &=& 2+\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{x}{|x|}\cdot 2\\
&=& 2+(+1)\cdot 2\\
&=& 4
\end{array}[/mm]
Nun habe ich eigentlich schon wieder zuviel vorgerechnet: versuche nun selbst noch den zweiten Limes, [mm] $\lim_{x\rightarrow 0-}$, [/mm] des gegebenen Terms zu bestimmen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:30 Mi 11.07.2007 | | Autor: | freierfall |
Guten Morgen,
herzlichen Dank für die sehr schöne Anwort. Ich werde mich nun dran machen und den anderen Wert ausrechnen.
Sascha Fleischer
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