Grenzwert und Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:25 Di 13.11.2012 | | Autor: | Onkel-Di |
| Aufgabe | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n^4+8n^2-1-(n^2+2)}
[/mm]
Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz und einen evtl. Grenzwert. |
Hallo,
welches Potenzgesetz/e oder was wende ich hier an, um weiterzukommen...
Mir fehlt der Ansatz .
Danke.
Grüße
Onkel-Di
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Hallo,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n^4+8n^2-1-(n^2+2)}[/mm]
>
> Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz und einen evtl.
> Grenzwert.
> Hallo,
>
> welches Potenzgesetz/e oder was wende ich hier an, um
> weiterzukommen...
vereinfache erstmal den Term unter der Wurzel. Dann klammere [mm] n^4 [/mm] aus und ziehe diesen Faktor aus der Wurzel heraus. Dann siesht du leicht, wohin die Reise geht. 
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:14 Di 13.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n^4+8n^2-1-(n^2+2)}[/mm]
>
> Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz und einen evtl.
> Grenzwert.
> Hallo,
>
> welches Potenzgesetz/e oder was wende ich hier an, um
> weiterzukommen...
> Mir fehlt der Ansatz .
Könnte es vielleicht sein, das die Aufgabe so lautet:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\wurzel{n^4+8n^2-1}-(n^2+2)) [/mm] $ ?
Wenn nein, so kannst Du Dich dennoch (zur Übung) an obigem Grenzwert versuchen.
FRED
>
> Danke.
>
> Grüße
> Onkel-Di
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Di 13.11.2012 | | Autor: | Onkel-Di |
Stimmt Fred,
irgendwie ist das hier so verrutscht....
wie hab ich da denn einen Ansatz.... ich hock immer noch davor und weiß noch nichts vernünfitges
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n^4+8n^2-1-(n^2+2)}[/mm]
> >
> > Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz und einen evtl.
> > Grenzwert.
> > Hallo,
> >
> > welches Potenzgesetz/e oder was wende ich hier an, um
> > weiterzukommen...
> > Mir fehlt der Ansatz .
>
> Könnte es vielleicht sein, das die Aufgabe so lautet:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\wurzel{n^4+8n^2-1}-(n^2+2))[/mm]
> ?
>
> Wenn nein, so kannst Du Dich dennoch (zur Übung) an obigem
> Grenzwert versuchen.
>
> FRED
> >
> > Danke.
> >
> > Grüße
> > Onkel-Di
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Hallo,
> Stimmt Fred,
>
> irgendwie ist das hier so verrutscht....
>
> wie hab ich da denn einen Ansatz.... ich hock immer noch
> davor und weiß noch nichts vernünfitges
jetzt ist die Aufgabe ein 'Klassiker'. Erweitere den Term zu einem Bruch, so dass im Zähler ein 3. Binom entsteht. Wozu das gut ist, siehst du unmittelbar, wenn du es versucht hast.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Di 13.11.2012 | | Autor: | Onkel-Di |
Hab hier mal versucht aufzulösen:
[mm] n^4 [/mm] * [mm] \wurzel{1+ \bruch{8}{n^2}+ \bruch{1}{n^4}} [/mm] - [mm] (n^2 [/mm] + 2)
= [mm] n^4 [/mm] - [mm] n^2 [/mm] + 2
den rest der wurzel hab ich weggelassen da er gegen null geht.
Kann ich das machen?
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Hallo,
> Hab hier mal versucht aufzulösen:
>
> [mm]n^4[/mm] * [mm]\wurzel{1+ \bruch{8}{n^2}+ \bruch{1}{n^4}}[/mm] - [mm](n^2[/mm] +
> 2)
>
> = [mm]n^4[/mm] - [mm]n^2[/mm] + 2
>
> den rest der wurzel hab ich weggelassen da er gegen null
> geht.
>
> Kann ich das machen?
Nein. Erstens wird aus den [mm] n^4 [/mm] beim Herausziehen ais der Wurzel etwas anderes (nämlich was?), und zweitens verhindert deine Vorgehensweise nicht das grundsätzliche Problem, welches hier vorliegt: ein undefinierter Ausdruck der Form [mm] \infty-\infty.
[/mm]
Wie schon gesagt: man muss hier geschickt erweitern (siehe dazu auch die nachfolgende Antwort von FRED!).
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:34 Di 13.11.2012 | | Autor: | Onkel-Di |
Noch n Versuch:
Wurzel aufgelöst: [mm] (n^2+8n-1)-n^2+2
[/mm]
komm ich so weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Di 13.11.2012 | | Autor: | Onkel-Di |
Wenn ich das weiter vereinfache,....
8*n -3
wenn jetzt [mm] n\mapsto\infty [/mm] dann geht der Term gegen -3 ... richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Di 13.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Wenn ich das weiter vereinfache,....
>
> 8*n -3
>
> wenn jetzt [mm]n\mapsto\infty[/mm] dann geht der Term gegen -3 ...
> richtig?
>
Deine beiden Umformungen hier sind gelinde gesagt, gruselig:
[mm] \sqrt{a+b}\ne\sqrt{a}+\sqrt{b}
[/mm]
Außerdem:
[mm] \sqrt{8n^{2}}=n\cdot\sqrt{8}
[/mm]
Den Weg habe ich dir doch schon detailliert vorgegeben, du musst danach nur noch ein bisschen Kürzen und dann überlegen, was mit [mm] \frac{1}{n^q} [/mm] passiert, wenn [mm] n\to\infty [/mm] läuft.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Di 13.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Tipp:
[mm] a-b=\bruch{(a-b)(a+b)}{a+b}=\bruch{a^2-b^2}{a+b}
[/mm]
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Di 13.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Mit freds Korrektur:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\wurzel{n^4+8n^2-1}-(n^2+2)) [/mm]
Forme wie folgt um:
[mm] \sqrt{n^4+8n^2-1}-(n^2+2)
[/mm]
Nun basteln wir uns einen Bruch, indem wir so erweitern, dass im Zähler die 3. Binomische Formel auftaucht, also
[mm]=\sqrt{n^4+8n^2-1}-(n^2+2)\cdot\frac{\sqrt{n^4+8n^2-1}+(n^2+2)}{\sqrt{n^4+8n^2-1}+(n^2+2)}[/mm]
Diesen Trick mit dem Erweitern sollte man sich merken, er hilft in vielen Fällen.
Der Rest ist ein wenig Umformen und ausklammern, bis du n nur noch im Nenner irgendwelcher Brüche hast
[mm]=\frac{(\sqrt{n^4+8n^2-1}-(n^2+2))\cdot(\sqrt{n^4+8n^2-1}+(n^2+2))}{\sqrt{n^4+8n^2-1}+(n^2+2)}[/mm]
[mm]=\frac{n^4+8n^2-1-(n^2+2)^{2}}{\sqrt{n^4\cdot\left(1+\frac{8}{n^2}-\frac{1}{n^{4}}\right)}+(n^2+2)}[/mm]
[mm]=\frac{n^4+8n^2-1-(n^4+4n^{2}+4)}{n^{2}\cdot\sqrt{1+\frac{8}{n^2}-\frac{1}{n^{4}}}+(n^2+2)}[/mm]
[mm]=\frac{4n^2-5}{n^{2}\cdot\left(\sqrt{1+\frac{8}{n^2}-\frac{1}{n^{4}}}+1\right)+2}[/mm]
[mm]=\frac{4n^2-5}{n^{2}\cdot\left(\sqrt{1+\frac{8}{n^2}-\frac{1}{n^{4}}}+1\right)+2}[/mm]
[mm]=\frac{n^2\cdot\left(4-\frac{5}{n^{2}}\right)}{n^{2}\cdot\left(\sqrt{1+\frac{8}{n^2}-\frac{1}{n^{4}}}+1+\frac{2}{n^{2}}\right)}[/mm]
Kürze nun n², danach kannst du [mm] n\to\infty [/mm] laufen lassen, da du dann n nur noch im Nenner irgendwelcher Brüche hast.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:39 Di 13.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
> Mit freds Korrektur:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\wurzel{n^4+8n^2-1}-(n^2+2))[/mm]
>
> Forme wie folgt um:
>
> [mm]\sqrt{n^4+8n^2-1}-(n^2+2)[/mm]
> Nun basteln wir uns einen Bruch, indem wir so erweitern,
> dass im Zähler die 3. Binomische Formel auftaucht, also
>
> [mm]=\sqrt{n^4+8n^2-1}-(n^2+2)\cdot\frac{\sqrt{n^4+8n^2-1}+(n^2+2)}{\sqrt{n^4+8n^2-1}+(n^2+2)}[/mm]
>
> Diesen Trick mit dem Erweitern sollte man sich merken, er
> hilft in vielen Fällen.
> Der Rest ist ein wenig Umformen und ausklammern, bis du n
> nur noch im Nenner irgendwelcher Brüche hast
>
> [mm]=\frac{(\sqrt{n^4+8n^2-1}-(n^2+2))\cdot(\sqrt{n^4+8n^2-1}+(n^2+2))}{\sqrt{n^4+8n^2-1}+(n^2+2)}[/mm]
>
> [mm]=\frac{n^4+8n^2-1-(n^2+2)^{2}}{\sqrt{n^4\cdot\left(1+\frac{8}{n^2}-\frac{1}{n^{4}}\right)}+(n^2+2)}[/mm]
>
> [mm]=\frac{n^4+8n^2-1-(n^4+4n^{2}+4)}{n^{2}\cdot\sqrt{1+\frac{8}{n^2}-\frac{1}{n^{4}}}+(n^2+2)}[/mm]
>
> [mm]=\frac{8n^2-3}{n^{2}\cdot\left(\sqrt{1+\frac{8}{n^2}-\frac{1}{n^{4}}}+1\right)+2}[/mm]
Hallo Marius,
Den Zähler [mm] 8n^2-3 [/mm] solltest Du Dir nochmal ansehen.
Gruß FRED
>
> [mm]=\frac{8n^2-3}{n^{2}\cdot\left(\sqrt{1+\frac{8}{n^2}-\frac{1}{n^{4}}}+1\right)+2}[/mm]
>
> [mm]=\frac{n^2\cdot\left(8-\frac{3}{n^{2}}\right)}{n^{2}\cdot\left(\sqrt{1+\frac{8}{n^2}-\frac{1}{n^{4}}}+1+\frac{2}{n^{2}}\right)}[/mm]
>
> Kürze nun n², danach kannst du [mm]n\to\infty[/mm] laufen lassen,
> da du dann n nur noch im Nenner irgendwelcher Brüche
> hast.
>
> Marius
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 Di 13.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
>
> Hallo Marius,
>
> Den Zähler [mm]8n^2-3[/mm] solltest Du Dir nochmal ansehen.
>
> Gruß FRED
Hallo Fred
Mache ich. Die Korrektur taucht dann in der anderen Antwort auf.
Danke für den Hinweis
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Fr 16.11.2012 | | Autor: | Onkel-Di |
Ich sehe das nicht wohin das geht.... oben geht's doch Richtung 8 oder? Und unten Richtung 1 ? Dann geht der Term Richtung 8 ? Oder denke ich da ganz falsch?
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Hallo Onkel-Di,
> Ich sehe das nicht wohin das geht.... oben geht's doch
> Richtung 8 oder? Und unten Richtung 1 ? Dann geht der Term
> Richtung 8 ? Oder denke ich da ganz falsch?
Äh, beziehst Du Dich auf die korrigierte Antwort von Marius? Die solltest Du lesen.
Der Zähler geht gegen 4, der Nenner gegen 1, also insgesamt gegen den Grenzwert 4.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Fr 16.11.2012 | | Autor: | Onkel-Di |
Hab nochmals das ganze in einen GTR eingegeben....
und habe den Schnittpunkt der Kurve, mit einer Gerade x=2 versucht.... diesen gibt es aber nicht...
also muss doch die Grenze [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = 2 sein...
wie seh ich das in der Gleichung?
habe gekürzt, und komme auf Term:
[mm] 1*\bruch{(4-\bruch{5}{n^2}}{1*( \wurzel{1+ \bruch{8}{n^2}- \bruch{1}{n^4}+1+{\bruch{2}{n^2}}}}
[/mm]
So, jetzt geht aber oben der Term gegen 4 und unten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Fr 16.11.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Onkel-Di!
> also muss doch die Grenze [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] = 2 sein...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> wie seh ich das in der Gleichung?
>
> habe gekürzt, und komme auf Term:
>
> [mm]1*\bruch{(4-\bruch{5}{n^2}}{1*( \wurzel{1+ \bruch{8}{n^2}- \bruch{1}{n^4}+1+{\bruch{2}{n^2}}}}[/mm]
Das stimmt im Nenner überhaupt nicht. Die Wurzel hört schon viel eher auf.
Dann sollte man auch sehen, dass der Nenner gegen 2 strebt.
Gruß
Loddar
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