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Grenzwert sin(x)/x u.ä.: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:30 Do 06.01.2005
Autor: chris2000

Suche die Grenzwerte:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{sin(k)}{k} [/mm] und
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{sin(k+1)}{k} [/mm]

Den Beitrag 33676 habe ich gefunden, ist im Prinzip genau das gleiche, nur dass der Grenzwert für k [mm] \to [/mm] 0 gebildet wird...

Wenn ich mit dem Taschenrechner ausprobiere, streben beide Grenzwerte gegen 0; aber wie kann ich das zeigen? Da nicht unendlich durch unendlich oder 0 durch 0 da steht, wird L'hospital wohl nicht funktionieren.

Und: muss man das zeigen, wenn es nicht explizit in der Aufgabe gefordert wird? Eigentlich geht es um Konvergenzradien und dazu braucht man die beiden Grenzwerte für das Quotientenkriterium halt.

Danke im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Grenzwert sin(x)/x u.ä.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:54 Do 06.01.2005
Autor: Loddar

Hallo chris2000!

> Suche die Grenzwerte:
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{sin(k)}{k} [/mm] und
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{sin(k+1)}{k}[/mm]
>  
> Den Beitrag 33676 habe ich gefunden, ist im Prinzip genau
> das gleiche, nur dass der Grenzwert für k [mm]\to[/mm] 0 gebildet wird...

[eek] da hat doch tatsächlich jemand vorher in den anderen Fragen recherchiert [chatten] ...  Ich bin schwer beeindruckt [happy] ...


> Wenn ich mit dem Taschenrechner ausprobiere, streben beide
> Grenzwerte gegen 0; aber wie kann ich das zeigen?

[mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{sin(k)}{k} [/mm]
Die sin-Funktion ist nach oben und unten beschränkt.
Es gilt ja: $-1 [mm] \le [/mm] sin(x) [mm] \le [/mm] +1$ für alle $x [mm] \in \IR$. [/mm]

Das heißt also, der Grenzwert [mm] $\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{sin(k)}{k}$ [/mm] entspricht genau dem Typ
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{A}{n} [/mm] = 0$. Damit gilt dieser Grenzwert auch für unseren betrachteten Term.


Frage beantwortet?
Sonst einfach nochmal melden ...


> Da nicht unendlich durch unendlich oder 0 durch 0 da steht, wird
> L'hospital wohl nicht funktionieren.

[daumenhoch] völlig richtig!


> Und: muss man das zeigen, wenn es nicht explizit in der
> Aufgabe gefordert wird?

Das kommt auf den Prof / Assi drauf an, ob er das haben möchte.
Aber bei einer korrekten und sauber formulierten Lösung kann bzw. sollte man das auch dazuschreiben ...


Grüße
Loddar

Bezug
                
Bezug
Grenzwert sin(x)/x u.ä.: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:13 Do 06.01.2005
Autor: chris2000

Hallo Loddar,

> Frage beantwortet?
> Sonst einfach nochmal melden ...

vielen Dank für deine schnelle Antwort! Ja, ist natürlich klar. Nur vorhin war's mir das ganz und gar nicht. Ich habe gedacht, man müsste das eventuell auch irgendwie am Einheitskreis zeigen; habe einfach nicht drangedacht, dass die Sinus-Funktion begrenzt ist. Bin froh, dass ich jetzt gefragt habe, sonst wäre ich da noch länger drüber gesessen....

Gruß,
Christian
Bezug
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