Grenzwert rekursiver Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Sa 27.11.2010 | | Autor: | PaulW89 |
| Aufgabe | Berechnen sie den Grenzwert der durch
[mm] a_{n+1}=\wurzel{a_{n}+1}, a_{0}=10
[/mm]
definierten, konvergenten Folge. Sie dürfen also vorraussetzen, dass die Folge konvergiert. |
Hallo.
Ich verzweifle gerade an dieser Aufgabe. :-/ Ich weiß nicht, wo und wie ich beginnen soll. Daher kann ich zu dieser Frage auch keinen Lösungsansatz liefern.
Ich bitte um Hinweise zur allgemeinen Vorgehensweise bei einem solchen Problem, um Stichworte und Tipps im Allgemeinen. Ich habe bereits Wikipedia und Google bemüht, bin jedoch kein Stück weiter gekommen.
Gruß,
Paul!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Godchie |
Aufgabe
Berechnen sie den Grenzwert der durch
$ [mm] a_{n+1}=\wurzel{a_{n}+1}, a_{0}=10 [/mm] $
definierten, konvergenten Folge. Sie dürfen also vorraussetzen, dass die Folge konvergiert.
Also ich kenn die Rechenaufgabe hab jedoch noch schwiriegkeiten das hier richtig einzugeben deswegen jetzt schon sorry.
um [mm] a_{1} [/mm] zu bekommen:
[mm] a_{0+1}=\wurzel{a_{0}+1}
[/mm]
[mm] a_{1}=\wurzel{10+1}
[/mm]
[mm] a_{2} [/mm] ...
usw.
MfG Godchie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Sa 27.11.2010 | | Autor: | PaulW89 |
Hallo,
danke für deine Antwort! Das was du da schreibst, ist mir natürlich klar.
Aber ich soll ja den Grenzwert berechnen. Ich denke nicht, dass es ausreicht, einfach ein paar Folgenglieder aufzuzählen.
Gruß,
Paul!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:55 Sa 27.11.2010 | | Autor: | abakus |
> Aufgabe
> Berechnen sie den Grenzwert der durch
> [mm]a_{n+1}=\wurzel{a_{n}+1}, a_{0}=10[/mm]
> definierten,
> konvergenten Folge. Sie dürfen also vorraussetzen, dass
> die Folge konvergiert.
>
> Also ich kenn die Rechenaufgabe hab jedoch noch
> schwiriegkeiten das hier richtig einzugeben deswegen jetzt
> schon sorry.
Hallo,
wenn die Zahlenfolge "fast an ihrem Grenzwert angekommen ist", unterscheiden sich die beiden Werte [mm] a_n [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] kaum noch voneinander, und sie unterscheiden sich auch kaum noch vom Grenzwert a.
Es gilt also [mm] a_n\approx a_{n+1}\approx [/mm] a.
Aus [mm] a_{n+1}=\wurzel{a_{n}+1} [/mm] wird dann
[mm] a=\wurzel{a+1}.
[/mm]
Löse diese Gleichung.
Gruß Abakus
>
>
> um [mm]a_{1}[/mm] zu bekommen:
>
> [mm]a_{0+1}=\wurzel{a_{0}+1}[/mm]
>
> [mm]a_{1}=\wurzel{10+1}[/mm]
>
> [mm]a_{2}[/mm] ...
>
> usw.
>
> MfG Godchie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
1. Wenn die Folge [mm] (a_n) [/mm] konvergent ist und den Grenzwert a hat, dann ist die Folge [mm] (a_{n+1}) [/mm] auch konvergent und hat auch denselben Grenzwert a, denn [mm] (a_n) [/mm] hat ja sozusagen nur ein zusätzliches erstes Folgenglied.
2. Die Wurzelfunktion ist stetig, also gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{x_n} [/mm] = [mm] \wurzel{\limes_{n\rightarrow\infty}x_n}
[/mm]
Du kannst a jetzt folgendermaßen berechnen :
Beginne mit a = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] =
Hinweis 1 benutzen = ...
Definition von [mm] a_{n+1} [/mm] = ...
Hinweis 2 benutzen = ...
Grenzwert einsetzen = ...
Aus der Gleichheit der Terme ganz am Anfang und ganz am Ende lässt sich a ausrechnen.
Gruß Sax.
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