Grenzwert rekursive Vorschrift < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
da meine Mathevorlesungsungen sind schon einige Zeit her sind und ich seit dem mit Folgen und Grenzwerten wenig zu tun habe, zähle ich auf euch!
Die "Aufgabe" ist im Grunde relativ leicht:
Es soll zu einem Anfangswert pro Zeiteinheit ein Wert addiert und dieser neue Wert um einen bestimmten Prozentsatz verringert werden.
Also Mathematisch:
[mm] x_{i+1}=k( \Delta x+ x_{i})[/mm]
[mm] x_{i+1}=k( \Delta x+ k( \Delta x+ x_{i-1}))[/mm]
[mm] x_{i+1}=k( \Delta x+ k( \Delta x+ (k( \Delta x+ k( \Delta x+ x_{i-2})))))[/mm]
dabei ist [mm] \Delta x[/mm] der zu addierende Wert (zunächst soll dieser konstant sein) und k der entsprechende Abnahmefaktor (k<1).
Im Grunde ist es kein Problem davon, beispielweise mit Excel, den Grenzwert zu ermitteln, jedoch hätte ich das ganze irgendwie gerne ein bischen allgemeiner und mathematischer betrachtet. Am liebsten wäre mir natütrlich eine geschlossene Funktion, bei der ich dann mit einer Grenzwertbetrachtung weiter kommen würde. Die einzige "Idee", die ich im Moment jedoch habe eine solche Funktion zu finden, basiert darauf das Ganze als Summe darzustellen und nicht in dieser "unschönen" rekursiven Form. Jedoch hapert es daran bereits.
Danke für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:10 Di 28.04.2015 | | Autor: | chrisno |
Ich schreibe das mal um. Es gibt einen Startwert [mm] $x_0$
[/mm]
$ [mm] x_{1}=k( \Delta [/mm] x+ [mm] x_{0}) [/mm] $
$ [mm] x_{2}=k( \Delta [/mm] x+ [mm] x_{1}) [/mm] = k( [mm] \Delta [/mm] x+ k( [mm] \Delta [/mm] x+ [mm] x_{0})) [/mm] $
$ [mm] x_{3}=k( \Delta [/mm] x+ [mm] x_{2}) [/mm] = k( [mm] \Delta [/mm] x+ k( [mm] \Delta [/mm] x+ [mm] x_{1})) [/mm] = k( [mm] \Delta [/mm] x+ k( [mm] \Delta [/mm] x+k( [mm] \Delta [/mm] x+ [mm] x_{0}) [/mm] ))$
In der nächsten Version:
$ [mm] x_1 [/mm] = k [mm] \cdot \Delta [/mm] x + k [mm] \cdot x_0 [/mm] $
$ [mm] x_2 [/mm] = k [mm] \cdot \Delta [/mm] x + k [mm] \cdot x_1 [/mm] = k [mm] \cdot \Delta [/mm] x + [mm] k^2 \cdot \Delta [/mm] x + [mm] k^2 \cdot x_0 [/mm] = (k + [mm] k^2) \Delta [/mm] x + [mm] k^2 x_0$
[/mm]
$ [mm] x_3$ [/mm] und [mm] $x_n$ [/mm] überlasse ich Dir.
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Das ergibt dann
[mm] x_{n}= k^n x_{0} + \Delta x \sum_{i=1}^{n} k^i [/mm]
und für n gegen unendlich strebt das gegen [mm] \frac{ \Delta x}{1-k}[/mm] .
Das scheint auch mit den Excel-Werten zu passen.
Danke Dir!
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