Grenzwert reeller Reihen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Fr 07.12.2007 | | Autor: | side |
| Aufgabe | Sei z [mm] \in\IC, [/mm] und sei [mm] \varepsilon>0. [/mm] Wegen absoluter Konvergenz von exp(z) gibt es [mm] N\in\IN, [/mm] so dass [mm] \summe_{k=N+1}^{\infty}\bruch{\left|z\right|^k}{k!}<\bruch{\varepsilon}{3} [/mm] gilt. Weiter gilt, dass [mm] \left|\summe_{k=N+1}^{n}{n \choose k} \bruch{z^k}{n^k}\right|< \bruch{\varepsilon}{3} [/mm] für jedes n>N.
(a) Zeige für jedes N [mm] \in\IN [/mm] : [mm] \summe_{k=0}^{N}(\bruch{z^k}{k!}-{n \choose k}\bruch{z^k}{n^k})\to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty.
[/mm]
(b) Folgere: [mm] (1+\bruch{z}{n})^n \to [/mm] exp(z) für n [mm] \to \infty. [/mm] |
Hierzu weis ich leider ganichts anzufangen. Muss ich eines der Kriterien wählen (Wurzelkrit., Quotientenkrit., Leibniz-Krit.) oder Liege ich da ganz falsch? Ich denke, wenn ich die erste Aufgabe gelöst habe, kommen mir vielleicht Ansätze zur b).
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Fr 07.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu b)schreib dir doch [mm] (1+z/n)^n [/mm] als Summe aus!
zu a) Die Konvergenz der Differenz musst du direkt aus es gibt zu jedem [mm] \epsilon [/mm] ein N sodass... folgern. dazu hast du ja die 2 Ungleichungen darüber!
Gruss leduart
|
|
|
|
