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Grenzwert ohne l'Hospital: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:22 Mi 24.04.2013
Autor: BamPi

Aufgabe
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} x*(\wurzel{x^2+1}-\wurzel{x^2-1}) [/mm]

Hallo,

ich hänge momentan einwenig bei dieser Aufgabe. Ich habe zunächst erweitert:

[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} x*(\wurzel{x^2+1}-\wurzel{x^2-1}) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} x*(\bruch{2}{\wurzel{x^2+1}-\wurzel{x^2-1}})=\limes_{x\rightarrow-\infty} (\bruch{2}{\wurzel{1+1/x^2}-\wurzel{1-1/x^2}}) [/mm]

Dieser Limes würde aber für x [mm] \to -\infty [/mm] gegen 0 gehen. Die richtige Lösung müsste ja aber -1 sein. Nur seh ich nicht so recht wo hier der Fehler stecken könnte ?

        
Bezug
Grenzwert ohne l'Hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:42 Mi 24.04.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> ich hänge momentan einwenig bei dieser Aufgabe. Ich habe
> zunächst erweitert:

>

> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} x*(\wurzel{x^2+1}-\wurzel{x^2-1})[/mm]
> = [mm]%5Climes_%7Bx%5Crightarrow-%5Cinfty%7D%20x*(%5Cbruch%7B2%7D%7B%5Cwurzel%7Bx%5E2%2B1%7D-%5Cwurzel%7Bx%5E2-1%7D%7D)%3D%5Climes_%7Bx%5Crightarrow-%5Cinfty%7D%20(%5Cbruch%7B2%7D%7B%5Cwurzel%7B1%2B1%2Fx%5E2%7D-%5Cwurzel%7B1-1%2Fx%5E2%7D%7D)[/mm]

>

Dir ist einfach im Nenner ein Vorzeichenwechsel unterlaufen. Da muss ein + zwischen den Wurzeln stehen...


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Grenzwert ohne l'Hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:44 Mi 24.04.2013
Autor: fred97


> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} x*(\wurzel{x^2+1}-\wurzel{x^2-1})[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> ich hänge momentan einwenig bei dieser Aufgabe. Ich habe
> zunächst erweitert:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} x*(\wurzel{x^2+1}-\wurzel{x^2-1})[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} x*(\bruch{2}{\wurzel{x^2+1}-\wurzel{x^2-1}})=\limes_{x\rightarrow-\infty} (\bruch{2}{\wurzel{1+1/x^2}-\wurzel{1-1/x^2}})[/mm]
>  
> Dieser Limes würde aber für x [mm]\to -\infty[/mm] gegen 0 gehen.
> Die richtige Lösung müsste ja aber -1 sein.

Ergänzend zu Diophant: der Limes = 1

FRED

> Nur seh ich
> nicht so recht wo hier der Fehler stecken könnte ?


Bezug
                
Bezug
Grenzwert ohne l'Hospital: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:10 Mi 24.04.2013
Autor: BamPi

Laut CAS wäre aber  [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} x\cdot{}(\wurzel{x^2+1}-\wurzel{x^2-1}) [/mm] = -1 ?

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert ohne l'Hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:20 Mi 24.04.2013
Autor: reverend

Hallo BamPi,

> Laut CAS wäre aber [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} x\cdot{}(\wurzel{x^2+1}-\wurzel{x^2-1})[/mm]
> = -1 ?

Das ist ja auch richtig.
Für [mm] x\to\infty [/mm] wäre der Grenzwert +1.

Das Problem an Deiner Rechnung (außer dem schon bemängelten Plus, das im Nenner stehen sollte), ist eine fehlende Überlegung zu dem "x", das Du aus den Wurzeln herausziehst.

Genauer: so einfach kann man [mm] \bruch{x}{\wurzel{x^2}} [/mm] nicht kürzen.

Alles klar?

Grüße
reverend

Bezug
                                
Bezug
Grenzwert ohne l'Hospital: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:12 Mo 29.04.2013
Autor: BamPi

Ja, müsste der Betrag sein.

Ich hänge allerdings immernoch bei
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{2*x}{\wurzel{x^2+1}+\wurzel{x^2-1}}=\limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{2*x/x}{\wurzel{1+1/x^2}+\wurzel{1-1/x^2}} [/mm]

Das Ergebnis ist aber 1 und leider nicht das richtige: -1. Ich seh aber nicht wo das Vorzeichen plötzlich herkommen soll ?

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert ohne l'Hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:20 Mo 29.04.2013
Autor: schachuzipus

Hallo BamPi,


> Ja, müsste der Betrag sein.

>

> Ich hänge allerdings immernoch bei
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{2*x}{\wurzel{x^2+1}+\wurzel{x^2-1}}=\limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{2*x/x}{\wurzel{1+1/x^2}+\wurzel{1-1/x^2}}[/mm]

>

> Das Ergebnis ist aber 1 und leider nicht das richtige: -1.
> Ich seh aber nicht wo das Vorzeichen plötzlich herkommen
> soll ?

Kann das rote x denn stimmen?

DU betrachtest ja [mm] $x\to -\infty$, [/mm] bist also mit x in den negativen Zahlen ...

Du hast für $x<0$ die Wurzel [mm] $\sqrt{x^2}=x$ [/mm] gezogen ...

Was ist denn zB. [mm] $\sqrt{(-4)^2}$ [/mm] ?


Gruß

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert ohne l'Hospital: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:36 Mo 29.04.2013
Autor: BamPi


> Kann das rote x denn stimmen?

Ich sehe kein rotes x ?

>  
> DU betrachtest ja [mm]x\to -\infty[/mm], bist also mit x in den
> negativen Zahlen ...
>  
> Du hast für [mm]x<0[/mm] die Wurzel [mm]\sqrt{x^2}=x[/mm] gezogen ...
>  
> Was ist denn zB. [mm]\sqrt{(-4)^2}[/mm] ?

[mm] \sqrt{(-4)^2}=+4 [/mm]

demnach [mm] \sqrt{(x)^2}=|x| [/mm] für x<0. Wo liegt da nun aber der Fehler ?

>  
>
> Gruß
>  
> schachuzipus



Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert ohne l'Hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:39 Mo 29.04.2013
Autor: fred97


> > Kann das rote x denn stimmen?
>  
> Ich sehe kein rotes x ?
>  
> >  

> > DU betrachtest ja [mm]x\to -\infty[/mm], bist also mit x in den
> > negativen Zahlen ...
>  >  
> > Du hast für [mm]x<0[/mm] die Wurzel [mm]\sqrt{x^2}=x[/mm] gezogen ...
>  >  
> > Was ist denn zB. [mm]\sqrt{(-4)^2}[/mm] ?
>  
> [mm]\sqrt{(-4)^2}=+4[/mm]
>  
> demnach [mm]\sqrt{(x)^2}=|x|[/mm] für x<0. Wo liegt da nun aber der
> Fehler ?

Schachuzipus hat geschrieben:

"Du hast für $ x<0 $ die Wurzel $ [mm] \sqrt{x^2}=x [/mm] $ gezogen ... "

Es ist aber:

    [mm]\sqrt{(x)^2}=|x|[/mm] .

Für x<0 bedeutet die:

    [mm]\sqrt{(x)^2}=-x[/mm]

FRED

>  >  
> >
> > Gruß
>  >  
> > schachuzipus
>
>  


Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert ohne l'Hospital: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:47 Mo 29.04.2013
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> > Kann das rote x denn stimmen?

>

> Ich sehe kein rotes x ?

Tja, der Formeleditor macht mal wieder, was er will ...


Ich hatte das x im Nenner des Zählerbruchs markiert ...

Ist aber dann nicht angezeigt - warum auch immer.

Aber aus dem Nachstehenden sollte auch so klar werden, welches x nur gemeint sein kann ...


Gruß

schachuzipus

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